Luyện tập Đường trung bình của tam giác Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm điều kiện hai điểm D và E
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy điểm D và E. Gọi trung điểm của BE và CD lần lượt là M, N. Đường thẳng MN cắt tia AB tại P, cắt tia AC tại Q. Tìm điều kiện của hai điểm D và E để tam giác APQ cân tại A?
- A.
  $BD = EA$
- B.
  $CE = BD$
- C.
  $BD = 2CE$
- D.
  $AD = CE$
Hướng dẫn:
Gọi O là trung điểm của BC.

Xét ∆EBC có OM là đường trung bình

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}OM//CE \\OM = \dfrac{CE}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét ∆DBC có ON là đường trung bình

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}ON//BD \\ON = \dfrac{BD}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{M_{1}} = \widehat{AQP} \\ \widehat{N_{2}} = \widehat{APQ} \\ \end{matrix} ight.$ (so le trong).

Xét tam giác ∆APQ cân tại A

$\widehat{Q} = \widehat{P} \Leftrightarrow \widehat{M_{1}} = \widehat{N_{2}} \Rightarrow OM = ON \Rightarrow CE = BD$
Câu 2: Vận dụng
Tính tỉ số giữa hai cạnh
Cho tam giác $ABC$ , các đường cao $AK$ và $BD$ cắt nhau tại $G$ . Vẽ các đường trung trực $HE, HF$ của các cạnh $AC, BC$ . Đường thẳng qua $A$ song song với $BG$ cắt đường thẳng qua $B$ song song với tại $I$ . Tính tỉ số $\frac{AG}{HF}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG = AI.

IB // AG => IB⊥BC, mà HF⊥BC, do đó IB // HF.

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong tam giác AIC, HE là đường trung bình, do đó: $HE = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}BG$

Vậy BG = 2HE.

Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.

Suy ra $HF = \frac{1}{2}BI = \frac{1}{2}AG$ (Vì AIBG là hình bình hành).

Vậy AG = 2HF hay $\frac{AG}{HF} = 2$
Câu 3: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh MP
Cho tứ giác $ACBD$ có $AB$ vuông góc với $CD$ . Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $BC, BD, AD, AC$ . Biết $BC // AD, BC = 4cm, AD = 16cm$ . Tính độ dài cạnh $MP$ .
- A.
  MP = 5
- B.
  MP = 12
- C.
  MP = 10
- D.
  MP = 8
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác ACD, PQ là đường trung bình, suy ra $PQ // CD$ .
Tương tự $MN // CD, MQ // AB, NP // AB.$
Từ đó ta có MN // PQ và $NP // MQ$
Suy ra MNPQ là hình bình hành. Mặt khác $AB ⊥ CD; MN ⊥ MQ$ .
Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
Ta có MP = NQ.
Theo giả thiết thì BCAD là hình thang với hai đáy BC, AD và QN là đường trung bình nên $MP = NQ = 1/2.(BC + AD) = 10cm$ .
Câu 4: Vận dụng
Tính số đo góc A
Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC$ , đường cao $AH$ và đường phân giác $BD$ . Biết rằng $\frac{AH}{AD} = \frac{1}{2}$ . Tính số đo góc $A$ của tam giác $ABC$ .
- A.
  $135^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $123^{0}$
- D.
  $108^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BD thì: $MD = \frac{1}{2}BD = AH$

∆ABC cân tại A, AH là đường cao nên $BH = HC$

Ta có HM là đường trung bình của ∆BCD => $MH//AC$

⇒ Tứ giác ADHM là hình thang

Hình thang HMAD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

$\Rightarrow \Delta ADH = \Delta DAM(c - c - c) \Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{D_{1}}$

$\Rightarrow 90^{0} + \widehat{C} = \widehat{B_{1}} + \widehat{C}$ (vì $\widehat{D_{1}}$ là góc ngoài tam giác BDC) (1)

Đặt $\widehat{B} = \widehat{C} = x \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 90^{0} - x = \frac{x}{2} + x \Rightarrow x = 36^{0}$

Vậy tam giác ABC có $\widehat{A} = 180^{0} - 2.36^{0} = 108^{0}$
Câu 5: Nhận biết
Tìm x
Tìm giá trị của x trong hình vẽ:
- A.
  $10cm$
- B.
  $9cm$
- C.
  $7,5cm$
- D.
  $12cm$
Hướng dẫn:
Ta có:

E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC

=> EF là đường trung bình tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}EF//BC \\EF = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{15}{2} = 7,5cm \\\end{matrix} ight.$
Câu 6: Vận dụng

Tính tỉ số hai cạnh BD và AC

Cho hình thoi $ABCD$ có $AB = 13cm$ ; $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ $OH\botAD$ . Biết $OH = 6cm$ .
Khi đó tỉ số $\frac{BD}{AC}=$ 2/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Cho hình thoi $ABCD$ có $AB = 13cm$ ; $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ $OH\botAD$ . Biết $OH = 6cm$ .
Khi đó tỉ số $\frac{BD}{AC}=$ 2/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Hình vẽ minh họa
Vẽ BK⊥ AD.
Xét ∆BKD có OH//BK (vì cùng vuông góc với AD) và OB = OD nên KH = HD
Vậy OH là đường trung bình của ∆BKD
Suy ra $OH = \frac{1}{2}BK \Rightarrow BK= 12cm$
Xét ∆ABK vuông tại K có:
$AK^{2} = AB^{2} - BK^{2} = 13^{2} -12^{2} = 25$
$\Rightarrow AK = 5cm \Rightarrow KD =8cm$
Xét ∆BKD vuông tại K có:
$BD^{2} = BK^{2} + KD^{2} = 12^{2} +8^{2} = 208$
Xét ∆AOH vuông tại H có:
$OA^{2} = OH^{2} + AH^{2} = 6^{2} + 9^{2}= 117$
$\Rightarrow \left( \frac{AC}{2}ight)^{2} = 117 \Rightarrow AC^{2} = 468$
Khi đó: $\frac{BD^{2}}{AC^{2}} =\frac{208}{468} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{BD}{AC} =\frac{2}{3}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AD,BC$ lần lượt là $M,N$ . Chọn đáp án đúng?
- A.
  $MN = \frac{AB + CD}{2}$
- B.
  $MN = \frac{AB + BC + CD + DA}{4}$
- C.
  $MN \leq \frac{AB + CD}{2}$
- D.
  $MN \geq \frac{AB + CD}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Giả sử O là trung điểm của BD.

Khi đó các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là đường trung bình của tam giác DAB và BDC. Từ đó ta có:

$MN < MO + ON = \frac{AB + CD}{2}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính độ dài IK
Cho tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến BD và CE. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N sao cho $BM = MN = NC$ . Giả sử I là giao điểm của AM và BD và K là giao điểm của AN và CE. Tính độ dài đoạn thẳng IK biết $BC = 1cm$ .
- A.
  $IK = \frac{1}{3}$
- B.
  $IK = \frac{1}{2}$
- C.
  $IK = \frac{1}{4}$
- D.
  $IK = \frac{1}{5}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có $DN$ là đường trung bình của tam giác $ACM$ nên $DN//AM$

Tam giác $BND$ có $BM = MN, MI//ND$ nên I là trung điểm của BD.

Tương tự K là trung điểm của CE. Hình thang BEDC có I, K là trung điểm của hai đường chéo.

Từ đó suy ra $IK = \dfrac{BC - ED}{2} =\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh IK
Cho hình thang $ABCD, (AB // CD)$ . Gọi $I$ là trung điểm của $BD$ . Kẻ $IK$ vuông góc với $BC$ . Biết $AB = 4cm, CD = 10cm, BD = 5cm$ . Hãy xác định độ dài đoạn $IK$ ?
- A.
  2cm
- B.
  6cm
- C.
  4cm
- D.
  9cm
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc CD.

Ta có: $CH = \frac{CD - AB}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3cm$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác BHC vuông ta có

$BH^{2} = BC^{2} - CH^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$

$\Rightarrow BH = 4cm$

Tam giác BDH có BI = IDvà IK//BH nên IK là đường trung bình

$\Rightarrow IK = \frac{BH}{2} = \frac{4}{2} = 2cm$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định tứ giác EHMF
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $(AB < AC)$ , trung tuyến $AM$ . Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$ . Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ . Tứ giác $EHMF$ là hình gì?
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình thoi
- C.
  Hình thang cân
- D.
  Hình thang
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Theo tính chất tam giác vuông, ta có $AM = MC = MB$ .
Tam giác CMA cân tại M và F là trung điểm AC suy ra MF ⊥ AC.
Chứng minh tương tự: ME ⊥ AB. Vậy AEMF là hình chữ nhật.
Ta có EF là đường trung bình trong tam giác ABC, suy ra EF // BC.
Theo giả thiết, AB < AC suy ra HB < HA, do đó H thuộc đoạn MB.
Vậy EHMF là hình thang.
Tam giác HAB vuông tại H, ta có $HE = EA = EB = MF$ , từ đó suy ra EHMF là hình thang cân.
Câu 11: Thông hiểu
Chọn số khẳng định đúng
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt là $M, N$ . Gọi các điểm $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $MC, MD, NA, NB$ . Ta có các khẳng định sau:
a) Các đoạn thẳng $EF, GH$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b) Các đoạn thẳng $EF, MN$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
c) Các đoạn thẳng $MN, GH$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
d) Các đoạn thẳng $EF, GH, MN$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Ta có $NE$ là đường trung bình của tam giác $CDM$ , nên $NE//MD$ và $NE = \frac{1}{2}MD = FM$ .
Tứ giác $MENF$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, nên nó là hình bình hành.
Tương tự, tứ giác $MHNG$ cũng là hình bình hành.
Hai hình bình hành $MENF$ và $MHNG$ có chung đường chéo $MN$ nên các đường chéo $EF, GH, MN$ đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường.
Vậy cả 4 khẳng định đều đúng.
Câu 12: Nhận biết
Xác định đáp án đúng
Chọn đáp án đúng trong các đáp án dưới đây?
- A.
  Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.
- B.
  Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
- C.
  Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh vuông góc đến cạnh đối diện với đỉnh đó.
- D.
  Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Hướng dẫn:
Khẳng định đúng là: “Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác. “
Câu 13: Thông hiểu
Xác định tứ giác MNPQ
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt là $M,N,P,Q$ . Khi đó tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
- A.
  Hình thang cân
- B.
  Hình thang
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình bình hành
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $MN//AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC$
PQ là đường trung bình của tam giác ADC suy ra $PQ// AC$ và $PQ = \frac{1}{2}AC$ .
Do đó $MN//PQ$ và $MN = PQ$ , suy ra $MNPQ$ là hình bình hành.
Câu 14: Thông hiểu
Xác định tứ giác MNPQ
Cho hình thang cân $ABCD$ . Gọi trung điểm của $AB, BC, CD, DA$ lần lượt là $M, N, P, Q$ . Xác định tứ giác $MNPQ$ ?
- A.
  Hình vuông
- B.
  Hình bình hành
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình thang cân
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên ta có $MN = \frac{1}{2}AC$ và MN // AC (1).
Tương tự trong tam giác ACD, $PQ =\frac{1}{2}AC$ và PQ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN = PQ và MN // PQ, do vậy MNPQ là hình bình hành (3).
Lại xét tam giác ABD, MQ là đường trung bình, suy ra $MQ = \frac{1}{2}BC$ .
Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD, từ đó suy ra MN = MQ (4).
Từ (3) và (4) suy ra MNPQ là hình thoi.
Câu 15: Thông hiểu

Chọn đáp án chính xác nhất

Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Tứ giác MNPQ là hình thoi || hình bình hành || hình thang || hình vuông

Đáp án là:

Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Tứ giác MNPQ là hình thoi || hình bình hành || hình thang || hình vuông

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ABD, MQ là đường trung bình nên $MQ = \frac{1}{2}AD$ và MQ // AD (1).

Trong tam giác ACD, NP là đường trung bình nên $NP = \frac{1}{2}AD$ và NP // AD (2).

Từ (1) và (2) suy ra MQ = NP và MQ // NP.

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có: trong tam giác ABC, MN là đường trung bình, ta có $MN = \frac{1}{2}BC$

Theo giả thiết, AD = BC nên $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD = MQ$

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên MNPQ là hình thoi.