Lớp 8 Toán 8 - Cánh diều

Luyện tập Nhân, Chia phân thức

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức

    Thực hiện phép tính \frac{x^{2} + xy}{5x^{2} + 5y^{2} + 5xy}.\frac{3x^{3} - 3y^{3}}{xy + y^{2}} .

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{x^{2} + xy}{5x^{2} + 5y^{2} + 5xy}.\frac{3x^{3} - 3y^{3}}{xy + y^{2}}

    = \frac{x(x + y)}{5\left( x^{2} + xy + y^{2} ight)}.\frac{3(x - y)\left( x^{2} + xy + y^{2} ight)}{y(x + y)}

    = \frac{3x(x - y)}{5y}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm biểu thức M

    Cho đẳng thức: \frac{x - 2y}{x^{2} + y^{3}}.M = \frac{x^{2} - 2xy}{x^{2} - xy + y^{2}}. Tìm biểu thức M.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{x - 2y}{x^{2} + y^{3}}.M = \frac{x^{2} - 2xy}{x^{2} - xy + y^{2}}

    \Rightarrow M = \frac{x^{2} - 2xy}{x^{2} - xy + y^{2}}:\frac{x - 2y}{x^{2} + y^{3}}

    \Rightarrow M = \frac{x(x - 2y)}{x^{2} - xy + y^{2}}.\frac{x^{2} + y^{3}}{x - 2y}

    \Rightarrow M = \frac{x(x - 2y)}{x^{2} - xy + y^{2}}.\frac{(x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} ight)}{x - 2y}

    \Rightarrow M = x(x + y)

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = \frac{2x^{2} + 6x + 7}{x^{2} + 3x + 3}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    D = \frac{2x^{2} + 6x + 7}{x^{2} + 3x + 3}

    D = \frac{2\left( x^{2} + 3x + 3 ight) + 1}{x^{2} + 3x + 3}

    D = 2 + \frac{1}{x^{2} + 3x + 3}

    Suy ra D đạt giá trị lớn nhất khi \frac{1}{x^{2} + 3x + 3} đạt giá trị lớn nhất hay x^{2} + 3x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất.

    Ta có: x^{2} + 3x + 3 = \left( x + \frac{3}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}

    Biểu thức x^{2} + 3x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng \frac{3}{4} khi x + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{2}

    Khi đó D = 2 + \frac{1}{x^{2} + 3x + 3} \leq 2 + \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{10}{3}

    Vậy D đạt giá trị lớn nhất nhất bằng \frac{10}{3} khi x = - \frac{3}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức

    Thực hiện phép tính sau:

    E = \frac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\frac{{4x - 2y}}{{x - y}} - \frac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\frac{{x - 3y}}{{x - y}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} E = \dfrac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\dfrac{{4x - 2y}}{{x - y}} - \dfrac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\dfrac{{x - 3y}}{{x - y}} \hfill \\ E = \dfrac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\left( {\dfrac{{4x - 2y}}{{x - y}} - \dfrac{{x - 3y}}{{x - y}}} ight) \hfill \\ E = \dfrac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\left( {\dfrac{{4x - 2y - x + 3y}}{{x - y}}} ight) \hfill \\ E = \dfrac{{x + 3y}}{{3x + y}}.\left( {\dfrac{{3x + y}}{{x - y}}} ight) = \dfrac{{x + 3y}}{{x - y}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định biểu thức

    Tìm biểu thức x biết rằng x:\frac{a^{2} + a + 1}{2a + 2} = \frac{a + 1}{a^{3} - 1}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x:\frac{a^{2} + a + 1}{2a + 2} = \frac{a + 1}{a^{3} - 1}

    \Rightarrow x = \frac{a + 1}{a^{3} - 1}.\frac{a^{2} + a + 1}{2a + 2}

    \Rightarrow x = \frac{a + 1}{(a - 1)\left( a^{2} + a + 1 ight)}.\frac{a^{2} + a + 1}{2(a + 1)}

    \Rightarrow x = \frac{1}{2(a - 1)}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hai biểu thức:

    A = \frac{1}{1(2n - 1)} + \frac{1}{3(2n - 3)} + ... + \frac{1}{(2n - 3).3} + \frac{1}{(2n - 1).1}

    B = 1 + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n - 1}

    Tính \frac{A}{B}.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \frac{1}{{k\left( {2n - k} ight)}} = \frac{1}{{2n}}\left( {\frac{1}{k} + \frac{1}{{2n + k}}} ight) do đó:

    A = \frac{1}{2n}\left\lbrack \left( 1 + \frac{1}{2n - 1} ight) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2n - 3} ight) + ... + \left( \frac{1}{2n - 3} + \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{2n - 1} + 1 ight) ightbrack

    A = \frac{1}{2n}\left\lbrack \left( 1 + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n - 1} + \frac{1}{2n - 3} ight) + \left( \frac{1}{2n - 1} + \frac{1}{2n - 3} + ... + \frac{1}{3} + 1 ight) ightbrack

    A = \frac{1}{2n}.2.\left( 1 + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n - 1} + \frac{1}{2n - 3} ight) = \frac{1}{2n}.2B

    Vậy \frac{A}{B} = \frac{1}{n}

  • Câu 7: Vận dụng
    Xác định số giá trị của x

    Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn để biểu thức A = \frac{3x^{2} - x + 3}{3x + 2} nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x eq - \frac{2}{3}

    A = \frac{3x^{2} - x + 3}{3x + 2}

    A = \frac{\left( 3x^{2} + 2x ight) - (3x + 2) + 5}{3x + 2}

    A = x - 1 + \frac{5}{3x + 2}

    A đạt giá trị nguyên khi \frac{5}{3x + 2}\mathbb{\in Z} khi đó: (3x + 2) \in U(5) = \left\{ \pm 5; \pm 1 ight\}

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3x + 2 = 5 \\3x + 2 = - 5 \\3x + 2 = 1 \\3x + 2 = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{7}{3} \\x = - \dfrac{1}{3} \\x = - 1 \\\end{matrix} ight.\ (tm)

    Vậy có 4 giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm x

    Tìm giá trị của x để biểu thức \dfrac{1 + x^{2} - \dfrac{7}{x + 1}}{2 - \dfrac{7}{x+ 1}} bằng 1.

    Hướng dẫn:

    \frac{1 + x^{2} - \frac{7}{x + 1}}{2 -\frac{7}{x + 1}} = 1

    \Leftrightarrow 1 + x^{2} - \frac{7}{x +1} = 2 - \frac{7}{x + 1}

    \Leftrightarrow 1 + x^{2} =2

    \Leftrightarrow x^{2} = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1(tm) \\x = - 1(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy x = 1

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm x nguyên dương thỏa mãn điều kiện

    Cho biểu thức:

    P = \left( \frac{x + 2}{2 - x} + \frac{x- 2}{x + 2} + \frac{4x^{2}}{4 - x^{2}} ight):\left( \frac{x + 3}{x^{2}- 2x} + \frac{2}{2 - x} ight)

    Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức P < 0.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định x eq 0;x eq \pm 2

    Ta có:

    P = \left( \frac{x + 2}{2 - x} + \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{4x^{2}}{4 - x^{2}} ight):\left( \frac{x + 3}{x^{2} - 2x} + \frac{2}{2 - x} ight)

    = \frac{4x^{2} + 8x}{4 - x^{2}}:\frac{x - 3}{x(2 - x)} = \frac{4x(x + 2)}{(2 - x)(2 + x)} \cdot \frac{x(2 - x)}{x - 3}

    = \frac{4x^{2}}{x - 3}

    P < 0 \Leftrightarrow \frac{4x^{2}}{x - 3} < 0 \Leftrightarrow x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3

    Kết hợp với điều kiện x nguyên dương và xeq \pm 2 nên x=1.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Biểu diễn biểu thức Q theo a và b

    Cho \left( 3a^{2} - 3b^{3} ight)x - 4b = 4a và (4a + 4b)y = 3(a - b)^{2} với a + b eq 0;a - b eq 0. Hãy biểu diễn biểu thức Q = xy theo a và b.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( 3a^{2} - 3b^{3} ight)x - 4b = 4a

    \Rightarrow x = \frac{4a + 4b}{3a^{3} - 3b^{3}} = \frac{4(a + b)}{3(a - b)\left( a^{2} + ab + b^{2} ight)}

    (4a + 4b)y = 3(a - b)^{2}

    \Rightarrow y = \frac{3(a - b)^{2}}{4a + 4b} = \frac{3(a - b)^{2}}{4(a + b)}

    Mặt khác Q = xy nên

    \Rightarrow Q = \frac{4(a + b)}{3(a - b)\left( a^{2} + ab + b^{2} ight)}.\frac{3(a - b)^{2}}{4(a + b)}

    \Rightarrow Q = \frac{a - b}{a^{2} + ab + b^{2}}

  • Câu 11: Nhận biết
    Rút gọn biểu thức F

    Thực hiện phép tính F = \frac{x^{2}}{(y + 1)^{2}}:\frac{2x}{y + 1}:\frac{2x}{y + 1} thu được kết quả:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F = \frac{x^{2}}{(y + 1)^{2}}:\frac{2x}{y + 1}:\frac{2x}{y + 1}

    F = \frac{x^{2}}{(y + 1)^{2}}.\frac{y + 1}{2x}.\frac{y + 1}{2x}

    F = \frac{1}{4}

  • Câu 12: Vận dụng
    Thực hiện phép tính

    Tính giá trị biểu thức E = \left( 1 - \frac{1}{2^{2}} ight)\left( 1 - \frac{1}{3^{2}} ight)....\left( 1 - \frac{1}{n^{2}} ight).

    Hướng dẫn:

    Ta có: 1 - \frac{1}{k^{2}} = \frac{k^{2} - 1}{k^{2}} = \frac{(k + 1)(k - 1)}{k^{2}} do đó:

    E = \frac{1.3}{2^{2}}.\frac{2.4}{3^{3}}.\frac{3.5}{4^{2}}...\frac{(n - 1)(n + 1)}{n^{2}}

    E = \frac{1.3.2.4.3.5...(n - 1)(n + 1)}{2^{2}.3^{2}.4^{2}...n^{2}}

    E = \frac{1.2.3...(n - 1)}{2.3.4....(n - 1)n}.\frac{3.4.5....(n + 1)}{2.3.4....n} = \frac{1}{n}.\frac{n + 1}{2} = \frac{n + 1}{2n}

  • Câu 13: Nhận biết
    Thực hiện phép tính

    Rút gọn biểu thức B = \dfrac{\dfrac{x^{2} - y^{2}}{x}}{\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{y}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    B = \dfrac{\dfrac{x^{2} -y^{2}}{x}}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} = \dfrac{\dfrac{x^{2} -y^{2}}{x}}{\dfrac{y - x}{xy}}

    B = \frac{\left( x^{2} - y^{2} ight)xy}{x(y - x)} = \frac{(x - y)(x + y)y}{y - x} = - y(x + y)

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện

    Tìm x biết 1 +\dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{x}}} = \dfrac{53}{37}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{3 +\dfrac{1}{x}}} = \dfrac{53}{37}

    \Leftrightarrow \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{3+ \dfrac{1}{x}}} = \dfrac{16}{37}

    \Leftrightarrow 2 + \dfrac{1}{3 +\dfrac{1}{x}} = \dfrac{37}{16}

    \Leftrightarrow \dfrac{1}{3 +\dfrac{1}{x}} = \dfrac{5}{16}

    \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} =\frac{16}{5}

    \Leftrightarrow \frac{1}{x} =\frac{1}{5} \Leftrightarrow x = 5

    Vậy x = 5.

  • Câu 15: Nhận biết
    Rút gọn biểu thức C

    Thực hiện phép tính C = \frac{x^{2} - 16}{2x + 5}.\frac{4x + 10}{4 - x} ta thu được kết quả:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C = \frac{x^{2} - 16}{2x + 5}.\frac{4x + 10}{4 - x}

    = \frac{(x - 4)(x + 4)}{2x + 5}.\frac{- 4(2x + 5)}{x - 4} = - 4(x + 4)

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (47%):
    2/3
  • Vận dụng (27%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 8 CD

Đăng nhập