Luyện tập Hình thoi Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính độ dài đường chéo hình thoi
Cạnh của một hình thoi bằng 25, một đường chéo bằng 14. Tính độ dài đường chéo còn lại bằng bao nhiêu?
- A.
  $48$
- B.
  $12$
- C.
  $30$
- D.
  $24$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Hình thoi ABCD có AC = 14 và AB = 25. Áp dụng các tính chất của hình thoi, ta có

$\left\{ \begin{matrix}OA = \dfrac{AC}{2} = 7 \\OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = 24 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow BD = 2OB = 48$
Câu 2: Thông hiểu
Tính tỉ số độ lớn hai góc
Cho hình bình hành $ABCD$ có $AD = 2AB$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ , kẻ $CE ⊥ AB$ tại $E$ , $MF ⊥ CE$ tại $F$ , $MF$ cắt $BC$ tại $N$ . Tính tỉ lệ số đo hai góc $\widehat{BAD};\widehat{AEM}$ .
- A.
  $\frac{\widehat{BAD}}{\widehat{AEM}} = 1$
- B.
  $\frac{\widehat{BAD}}{\widehat{AEM}} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{\widehat{BAD}}{\widehat{AEM}} = \frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\widehat{BAD}}{\widehat{AEM}} = 2$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

$MF ⊥ CE, AE ⊥ CE$ do đó $MN // AE // CD$ (1)

Lại có $MD // NC$ và $MD = AD = CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MNCD$ là hình thoi

$\Rightarrow \widehat{NMD} = 2\widehat{NMC}$

Ta có: $\widehat{BAD} = \widehat{NMD} = 2\widehat{NMC} = 2\widehat{EMF}$ (3)

Lại có $\widehat{AEM} = \widehat{EMF}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{MEF}$ ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{BAD} = 2\widehat{AEM}$
Câu 3: Thông hiểu
Tính số đo góc
Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình thoi $ABCD$ , E và F theo thứ tự là hình chiếu của O trên BC và CD. Biết rằng EF bằng một phần tư BD. Khi đó $\widehat{A} - \widehat{D}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $50^{0}$
- B.
  $80^{0}$
- C.
  $40^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm OB.

Tam giác EOB vuông tại E nên $EI = \frac{1}{2}BO = EF$

=> EFOI là hình thoi, suy ra tam giác OEF cân tại F, lại có $OE = OF$ nên tam giác OEF đều

$\Rightarrow \widehat{EOF} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{ECF} = 120^{0} \Rightarrow \widehat{ABC} = 60^{0}$

Vậy $EF = \frac{1}{4}BD$ thì $\left\{ \begin{matrix} \widehat{C} = \widehat{A} = 120^{0} \\ \widehat{B} = \widehat{D} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight.$
Câu 4: Nhận biết
Tính độ dài cạnh hình thoi
Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ . Độ dài $OA = 8 cm, OB = 6 cm$ . Tính độ dài cạnh hình thoi.
- A.
  $AB = 15cm$
- B.
  $AB = 10cm$
- C.
  $AB = 13cm$
- D.
  $AB = 12cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABE$ vuông tại $E$ ta có:
$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} =10(cm)$
$\Rightarrow AB = 10cm$
Câu 5: Thông hiểu
Tính độ dài hình thoi
Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là $8cm$ và $6cm$ . Tính độ dài cạnh hình thoi.
- A.
  $2\sqrt{5}cm$
- B.
  $5cm$
- C.
  $4\sqrt{2}cm$
- D.
  $6cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $ABCD$ là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại E và $AC = 6; BD = 8$

Do $ABCD$ là hình thoi nên $\left\{ \begin{gathered} AC \bot BD \hfill \\ AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.6 = 3 \hfill \\ BE = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.8 = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABE vuông tại E ta có:

$AB^{2} = AE^{2} + BE^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

$\Rightarrow AB = 5cm$
Câu 6: Thông hiểu
Tính số đo góc HMC
Cho hình bình hành ABCD, $AB = 2AD;\widehat{D} = 70^{0}$ . Gọi H là hình chiếu của B trên AD, M là trung điểm của CD. Tính số đo góc $\widehat{HMC}$ ?
- A.
  $\widehat{HMC} =80^{0}$
- B.
  $\widehat{HMC} =100^{0}$
- C.
  $\widehat{HMC} =120^{0}$
- D.
  $\widehat{HMC} =105^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm AB, có
MN // DA
DA ⊥ BH
=> MN ⊥ BH và MN đi qua trung điểm của BH
=> MN là đường trung trực của BH
$\Rightarrow \widehat{M_{1}} =\widehat{M_{2}}$
Lại có $\left\{ \begin{matrix}\widehat{M_{2}} = \widehat{M_{3}} \\\widehat{NMC} = \widehat{ADM} = 70^{0} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \widehat{HMC} = 3.35^{0}= 105^{0}$
Câu 7: Vận dụng
Xác định loại tam giác DMN
Cho hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ có $\widehat{A} = 60^{0}$ . Đường thẳng d cắt 2 cạnh AB, BC lần lượt tại M, N sao cho $MB + NB = CD$ . Tam giác $DMN$ là tam giác gì?
- A.
  Tam giác vuông cân
- B.
  Tam giác vuông
- C.
  Tam giác đều
- D.
  Tam giác cân
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Theo đề: $MB + NB = CD = AB$ suy ra $MA = NB$

$\widehat{A} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{ABC} = 120^{0} \Rightarrow \widehat{NBD} = 60^{0}$

Tam giác $ABD$ đều nên $AD = BD$

Xét hai tam giác $MAD$ và $NBD$ , có:

$MA = NB$

$\widehat{MAD} = \widehat{NBD} = 60^{0}$

$AD = BD$

Do đó $\Delta MAD = \Delta NBD(c - g - c)$

Từ đó $\left\{ \begin{matrix} MD = ND \\ \widehat{ADM} = \widehat{BDN} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \widehat{MDN} = \widehat{MDB} + \widehat{BDN}$

$= \widehat{MDB} + \widehat{ADM} = \widehat{ADB} = 60^{0}$ (Vì tam giác $ABD$ đều)

Tam giác $MND$ có $MD = ND$ và góc $\widehat{D} = 60^{0}$ .

Vậy tam giác $MND$ đều.
Câu 8: Thông hiểu
Xác định dạng tam giác DIE
Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM. Xác định dạng của tam giác DIE.
- A.
  Tam giác vuông
- B.
  Tam giác vuông cân
- C.
  Tam giác đều
- D.
  Tam giác cân
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác DAM vuông tại D, DI là trung tuyến

$\Rightarrow DI = \frac{1}{2}AM(1)$

Tam giác EAM vuông tại E, EI là trung tuyến

$\Rightarrow EI = \frac{1}{2}AM(2)$

Lại có: $\widehat{MIE} = \widehat{IAE} + \widehat{IEA} = 2\widehat{IAE}$

$\widehat{MID} = \widehat{IAD} + \widehat{IDA} = 2\widehat{IAD}$

Nên $\widehat{DIE} = \widehat{DIM} + \widehat{MIE} = 2\left( \widehat{IAD} + \widehat{IAE} ight) = 2\widehat{DAE} = 60^{0}(3)$

Từ (1)., (2), (3) => Tam giác IDE là tam giác đều
Câu 9: Thông hiểu
Xác định tứ giác MNEF
Cho hình thoi $ABCD$ . Trên các tía đối của tia $BA, CB, DC, AD$ lấy các điểm $M, N, E, F$ sao cho $BM = CN = DE = AF$ . Tứ giác MNEF là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình thoi
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình bình hành
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \widehat {FAM} + \widehat {BAD} = {180^0} \hfill \\ \widehat {NCE} + \widehat {DCB} = {180^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ mặt khác $\widehat {BAD} = \widehat {DCB}$ nên $\widehat {FAM} = \widehat {NCE}$

Lại có: $FA = NC$ và $MA = MB + BA = ED + DC = EC$ .

Do đó $\Delta FAM = \Delta NCE (c‐g‐c)$

$=> FM = NE (1)$

Tương tự chứng minh $\triangle MBN = \triangle EDF => MN = EF (2)$

(1), (2) suy ra $MNEF$ là hình bình hành.
Câu 10: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh AC
Cho hình thoi $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 10cm và $\widehat{CDB} = 30^{0}$ . Tính độ dài cạnh AC.
- A.
  $10cm$
- B.
  $6cm$
- C.
  $4cm$
- D.
  $8cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Gọi E là giao điểm của hai đường chéo
Do $ABCD$ là hình thoi nên $BD$ là đường phân giác của góc $\widehat{ADC}$
$\Rightarrow \widehat{ADC} =2\widehat{CDB} = 60^{0}$
Xét tam giác $ADC$ có $AD = CD$ (vì $ABCD$ là hình thoi) và $\widehat{ADC} = 60^{0}$
=> Tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = CD = DA = 10cm$
$=> AC = AB = BC = 10cm$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm x
Cho hình thoi DEF G như hình vẽ bên. Tính giá trị x.
- A.
  $x = 90^{0}$
- B.
  $x = 75^{0}$
- C.
  $x = 110^{0}$
- D.
  $x = 55^{0}$
Hướng dẫn:
Vì DEGF là hình thoi và $\widehat D = {70^0} \Rightarrow \widehat {DGF} = {180^0} - \widehat D = {110^0}$
Hơn nữa GE là phân giác của $\widehat {DEF}$ (hình thoi DEFG)
Do đó $x = \widehat {DGE} = \frac{1}{2}\widehat {DEF} = {55^0}$
Câu 12: Thông hiểu
Xác định tứ giác ABCD
Cho hình bình hành $ABCD$ . Kẻ $AE ⊥ BC$ tại $E$ , $DF ⊥ AB$ tại $F$ . Biết $AE = DF$ . Tứ giác $ABCD$ là hình gì?
- A.
  Hình thang
- B.
  Hình thoi
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình bình hành
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét hai tam giác $EAB$ và $FDA$ có:

$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^{0}$

$EA = DF$ (so le trong)

Do đó hai tam giác $EAB$ và $FDA$ bằng nhau, suy ra $AB = DA$ .

$ABCD$ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên ABCD là hình thoi.
Câu 13: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng
Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{B} > 90^{0}$ . Vẽ $BM$ vuông góc $AD$ tại $M$ , $BN$ vuông góc $CD$ tại $N$ , $DP$ vuông góc $AB$ tại $P$ , $DQ$ vuông góc $BC$ tại $Q$ ; $BM$ cắt $DP$ tại $E$ , $BN$ cắt $DQ$ tại $F$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $BFDE$ là hình thang cân
- B.
  $BFDE$ là hình bình thoi
- C.
  $BFDE$ là hình chữ nhật
- D.
  $BFDE$ là hình bình hành
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết: $BF⊥CD, DE ⊥AB$ , vì $AB // CD$ nên $BF // DE$ .

Chứng minh tương tự ta có $BE // DF$ .

Do đó tứ giác $BFED$ là hình bình hành.

Ta chứng minh $EF⊥BD$ .

Thật vậy, trong tam giác $ABD$ , BE và DE là đường cao nên AE cũng là đường cao suy ra $AE⊥BD$

Tương tự, $CE⊥BD$ .

Vì $AC⊥BD$ suy ra bốn điểm $A, C, E, F$ thẳng hàng và $EF⊥BC$ .

Tứ giác BFDE là hình bình hành và có hai đường chéo vuông góc, suy ra BFDE là hình thoi.
Câu 14: Thông hiểu
Tính số đo góc EAF
Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{B} = 60^{0}$ . Kẻ $AE ⊥ DC, AF ⊥ BC$ . Tính số đo góc $\widehat{EAF}$
- A.
  $50^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $40^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Hình thoi ABCD có AB = BC và $\widehat{ABC} = 60^{0}$ nên tam giác ABC đều

Do đó đường cao AF cũng là đường phân giác suy ra $\widehat{CAF} = 30^{0}$

Tương tự ta cũng chứng minh được $\widehat{CAE} = 30^{0}$

Vậy $\widehat{EAF} = 60^{0}$
Câu 15: Vận dụng
Tứ giác MNHK là hình gì
Cho $∆ABC$ nhọn, các đường cao $BD, CE$ . Tia phân giác của góc ABD và ACE cắt nhau tại O, cắt AC và AB lần lượt tại N và M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Khi đó tứ giác MNHK là hình gì?
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình chữ nhật
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình thang cân
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{ABD} + \widehat{BAC} = 90^{0} \\ \widehat{ACE} + \widehat{BAC} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left( \widehat{ABD} + \widehat{BAC} ight) + \frac{1}{2}\left( \widehat{ACE} + \widehat{BAC} ight) = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{ABN} + \widehat{BAC} + \widehat{ACM} = 90^{0}(1)$

Xét tam giác ABN có $\widehat{ABN} + \widehat{BAC} = \widehat{BNC}$ (góc ngoài của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{NCO} + \widehat{CNO} = 90^{0} \Rightarrow CO\bot NK$

Lại có CO là phân giác góc NCK từ đó ta có O là trung điểm NK.

Chứng minh tương tự, O là trung điểm của MH.

Tứ giác MNHK có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường nên MNHK là hình thoi.