Luyện tập Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng

Điền tuổi của A vào chỗ trống

Ông của bạn A hơn bạn A 58 tuổi. Khi cộng tuổi của bố của A và hai lần tuổi của A thì bằng tuổi của ông. Hãy tính tuổi của bạn A, biết tổng số tuổi của ba người 130.

Đáp án: 14 tuổi

Đáp án là:

Ông của bạn A hơn bạn A 58 tuổi. Khi cộng tuổi của bố của A và hai lần tuổi của A thì bằng tuổi của ông. Hãy tính tuổi của bạn A, biết tổng số tuổi của ba người 130.

Đáp án: 14 tuổi

Gọi X là tuổi của bạn A.

Y là tuổi bố của bạn A.

Z là tuổi của ông bạn A.

Điều kiện $X, Y, Z \in \mathbb{N^*}$

Theo đề:

Ông hơn A là 58 tuổi: Z – X = 58                                                     (1)

Tuổi bố và hai lần tuổi bạn A bằng tuổi ông: Y + 2X = Z                              (2)

Tổng tuổi của cả ba người là 130:    X + Y + Z = 130                                  (3)

Lấy (2) trừ (3) ta được

Y + 2X – Z – (X + Y + Z – 130) = 0

⇔ X – 2Z + 130 = 0                                                                       (4)

Lấy (1), (4) ta được:

Z – X – 58 – (X – 2Z + 130) =0

⇔ Z = 72

Khi đó: X = Z – 58 = 72 – 58 = 14.

Vậy tuổi của bạn A là 14 tuổi.
Câu 2: Vận dụng

Điền đáp án vào chỗ trống

Cho một số tự nhiên có 5 chữ số. Biết khi thêm chữ số 1 vào bên phải của số ấy thì được một số gấp 3 lần số được tạo nên khi ta thêm chữ số 1 vào bên trái số đã cho. Số đó là: 42857

Đáp án là:

Cho một số tự nhiên có 5 chữ số. Biết khi thêm chữ số 1 vào bên phải của số ấy thì được một số gấp 3 lần số được tạo nên khi ta thêm chữ số 1 vào bên trái số đã cho. Số đó là: 42857

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là $\overline{abcde} = x;\left( x\mathbb{\in N};10000 < x < 99999 ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overline{abcde1} = 10x + 1 \\ \overline{1abcde} = x + 100000 \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra:

Thêm chữ số 1 vào bên phải của số ấy thì được một số gấp 3 lần số được tạo nên khi ta thêm chữ số 1 vào bên trái số đã cho nên ta có phương trình:

$10x + 1 = 3(x + 100000)$

$\Leftrightarrow x = 42857(tm)$

Vậy số cần tìm là 42857
Câu 3: Thông hiểu
Tính số gói kẹo lấy từ thùng I
Thùng I chứa 60 gói kẹo, thùng II chứa 80 gói kẹo. Người ta lấy ra từ thùng II số gói kẹo nhiều gấp 3 lần số gói kẹo lấy ra từ thùng I. Biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng I gấp 2 lần số gói kẹo còn lại trong thùng II. Tính số gói kẹo được lấy ra từ thùng I.
- A.
  $45$
- B.
  $38$
- C.
  $20$
- D.
  $32$
Hướng dẫn:
Gọi x là số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất

Điều kiện $x \in \mathbb{N}^{*}$

=> 3x là số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ hai.

Số gói kẹo còn lại ở thùng I: 60 – x (gói kẹo)

Số gói kẹo còn lại ở thùng II:  80 – 3x (gói kẹo)

Theo bài ta có: Số gói kẹo còn lại ở thùng I gấp hai lần số gói kẹo còn lại ở thùng II nên ta có phương trình:

60 – x = 2.(80 – 3x)

⇔ 60 – x = 160 – 6x

⇔ 5x = 100

⇔ x = 20 (thỏa mãn)

Vậy số gói kẹo lấy ra từ thùng thứ nhất là 20 gói kẹo.
Câu 4: Vận dụng
Tính quãng đường AB
Ô tô đi từ thành phố A lúc 8 giờ sáng và dự kiến đến thành phố B lúc 10 giờ 30 phút. Tính quãng đường từ thành phố A đến thành phố B. Biết rằng mỗi giờ ô tô đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên đến 11 giờ 20 phút xe mới tới B.
- A.
  $S = 136km$
- B.
  $S = 100km$
- C.
  $S = 150km$
- D.
  $S = 168km$
Hướng dẫn:
Ta có:

$10h30p – 8h = 2h30p =$ $\frac{5}{2}h$

=> Thời gian dự kiến đi từ A đến B là $\frac{5}{2}$ giờ

$11h20p – 8h = 3h20p =$ $\frac{10}{3}h$

=> Thời gian thực tế đi từ A đến B là $\frac{10}{3}$ giờ

Gọi quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là $x(km)$

Điều kiện $x > 0$

Dự kiến 1 giờ ô tô đi được quãng đường là $\frac{2x}{5}(km)$

Thực tế 1 giờ ô tô đi được quãng đường là: $\frac{3x}{10}(km)$

1 giờ ô tô đi chậm hơn so với dự kiến 10km. khi đó ta có phương trình:

$\frac{2x}{5} = \frac{3x}{10} + 10$

$\Leftrightarrow 4x = 3x + 100 \Leftrightarrow x = 100(tm)$

Vậy quãng đường AB là $100km$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính số sản phẩm cần phải làm của xưởng
Một xưởng sản xuất kí hợp đồng dệt may một số sản phẩm trong 20 ngày. Do xưởng mới thay đổi máy móc tiên tiến hơn nên năng suất dệt của xưởng đã tăng 20%. Nên xưởng đã hoàn thành số sản phẩm cần dệt trong 18 ngày và còn dệt thêm được 24 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm mà xưởng phải dệt theo hợp đồng.
- A.
  200 sản phẩm
- B.
  300 sản phẩm
- C.
  500 sản phẩm
- D.
  400 sản phẩm
Hướng dẫn:
Gọi x là số sản phẩm mà xưởng dệt theo hợp đồng

Điều kiện: x > 0

Số sản phẩm dệt trong 1 ngày theo hợp đồng là 20 x (sản phẩm)

Số sản phẩm được dệt trên thực tế là x + 24 (sản phẩm)

Số tấm thảm len dệt trong 1 ngày trên thực tế là $\frac{x + 24}{18}$ (sản phẩm)

Vì năng suất dệt của xưởng tăng 20% nên trong 1 ngày xưởng dệt 120% so với hợp đồng, ta có:

$\frac{x + 24}{18} = \frac{120x}{100.20}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 24}{9} = \frac{6x}{50}$

$\Leftrightarrow 50x + 1200 = 54x \Leftrightarrow x = 300(tm)$

Vậy số sản phẩm trong hợp đồng mà xưởng cần dệt là 300 sản phẩm.
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích mảnh đất
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính diện tích mảnh đất đó.
- A.
  $60m^{2}$
- B.
  $75m^{2}$
- C.
  $50m^{2}$
- D.
  $70m^{2}$
Hướng dẫn:
Gọi chiều rộng là x (m)

Điều kiện 13 > x > 0

Suy ra chiều dài là x + 7 (m)

Ta có phương trình

$x^{2} + (x + 7)^{2} = 13^{2} \Rightarrow x = 5(tm)$

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là 12m và 5m

Vậy diện tích mảnh đất là 60m²_.
Câu 7: Thông hiểu

Tính vận tốc ban đầu của xe

Hai xe ô tô cùng khởi hành đi từ trạm A đến trạm B cách nhau $163km$ . Hai xe có cùng vận tốc trong $43 km$ đầu tiên. Sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, xe thứ hai vẫn di chuyển với vận tốc cũ. Tính vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết xe thứ nhất đến trạm B sớm hơn xe thứ hai 40 phút.

Kết quả: 30km/h

Đáp án là:

Hai xe ô tô cùng khởi hành đi từ trạm A đến trạm B cách nhau $163km$ . Hai xe có cùng vận tốc trong $43 km$ đầu tiên. Sau đó xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, xe thứ hai vẫn di chuyển với vận tốc cũ. Tính vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết xe thứ nhất đến trạm B sớm hơn xe thứ hai 40 phút.

Kết quả: 30km/h

Gọi vận tốc hai xe đi được trong 43km đầu là $v (km/h)$

Điều kiện $v > 0$ .

Vì suốt quảng đường xe thứ hai vẫn duy trì tốc độ cũ nên thời gian xe thứ hai đi được là $\frac{163}{v}(h)$

Trong 43km đầu xe thứ nhất đi được với thời gian là $\frac{43}{v}$ (giờ)

Thời gian xe thứ nhất đi được ở 120km sau là $\frac{163 - 43}{1,2v} = \frac{100}{v}$ (giờ)

Theo đề xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai 40phút ứng với $\frac{2}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{43}{v} + \frac{100}{v} + \frac{2}{3} = \frac{163}{v}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} = \frac{163 - 100 - 43}{v}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} = \frac{20}{v} \Leftrightarrow v = 30(tm)$

Vậy vận tốc ban đầu của mỗi xe là $30km/h$ .
Câu 8: Thông hiểu

Tính khoảng cách AB

Thời gian đi của một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B và ngược dòng từ bến B về bến A tốn lần lượt là 4 giờ và 5 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h. Khoảng cách giữa hai bến A và bến B là: 80 km

Đáp án là:

Thời gian đi của một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B và ngược dòng từ bến B về bến A tốn lần lượt là 4 giờ và 5 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 2km/h. Khoảng cách giữa hai bến A và bến B là: 80 km

Gọi vận tốc của cano là x (km/h)

Điều kiện x > 2

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + 2 (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là x - 2 (km/h)

Biết thời gian đi xuôi dòng từ A đến B và thời gian ngược dòng từ B đến A lần lượt là 4 giờ và 5 giờ. Khi đó ta có phương trình:

4.(x + 2) = 5.(x – 2)

=> x = 18 (thỏa mãn)

Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là 80km.
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một đội thợ khai thác có kế hoạch mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn khoáng sản. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn khoáng sản nên đội đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày và vượt mức 13 tấn khoáng sản. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn khoáng sản?
- A.
  450 tấn
- B.
  400 tấn
- C.
  550 tấn
- D.
  500 tấn
Hướng dẫn:
Gọi x là số ngày khai thác khoáng sản

Điều kiện: x > 0

Kế hoạch số tấn khoáng ản được khai thác là 50x (tấn)

Thực tế số tấn khoáng sản được khai thác là 57x (tấn)

Vì đội hoàn thành kế hoạch trước một ngày và vượt mức 13 tấn khoáng sản so với kế hoạch nên ta có phương trình:

50x = 57.(x – 1) ‐13

⇔ 7.x = 70

⇔ x = 10 (thỏa mãn)

Vậy theo kế hoach đội phải khai thác 50.10 = 500 tấn khoáng sản.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 16m. Hai lần chiều dài kém 5 lần chiều rộng 28m. Xác định sự chênh lệch độ dài giữa chiều dài và chiều rộng sân trường?
- A.
  15m
- B.
  20m
- C.
  12m
- D.
  16m
Hướng dẫn:
Gọi chiều rộng là x (m)

Điều kiện x > 0

Chiều dài là x +16 (m)

Theo bài ra có hai lần chiều dài kém 5 lần chiều rộng nên ta có phương trình:

2(x + 16) + 28 = 5x

=> x = 20 (tm)

Suy ra chiều dài 36m, chiều rộng 20m

Suy ra sự chênh lệch độ dài giữa chiều dài và chiều rộng là 36 – 20 = 16 (m).
Câu 11: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Hai vòi nước cùng chảy vào một bẻ cạn nước, sau $\frac{40}{9}$ giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng $\frac{5}{4}$ lượng nước vời 2 chảy.

Vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể trong: 8 giờ

Vòi thứ hai một mình chảy đầy bể trong: 10 giờ

Đáp án là:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bẻ cạn nước, sau $\frac{40}{9}$ giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng $\frac{5}{4}$ lượng nước vời 2 chảy.

Vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể trong: 8 giờ

Vòi thứ hai một mình chảy đầy bể trong: 10 giờ

Gọi x giờ là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể.

Điều kiện x > 0

Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là $\frac{5}{4}x$ (giờ)

Trong 1 giờ lượng nước vòi 1 chảy một mình được $\frac{1}{x}$ bể

Trong 1 giờ lượng nước vòi 2 chảy một mình được $\frac{4}{5x}$ bể

Trong 1 giờ lượng nước cả hai vòi cùng chảy được $\frac{9}{40}$ bể

Ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{4}{5x} = \frac{9}{40} \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = 8(tm)$

Vậy vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể trong: 8 giờ

Vòi thứ hai một mình chảy đầy bể trong: 10 giờ
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Phân số $\frac{a}{b};(a eq 0)$ có tử số nhỏ hơn mẫu số 11 đơn vị. Tìm phân số $\frac{a}{b}$ , biết rằng nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số mới bằng $\frac{3}{4}$ .
- A.
  $\frac{a}{b} = \frac{13}{24}$
- B.
  $\frac{a}{b} = \frac{1}{12}$
- C.
  $\frac{a}{b} = \frac{9}{20}$
- D.
  $\frac{a}{b} = \frac{5}{17}$
Hướng dẫn:
Ta có tử số nhỏ hơn mẫu số 11 đơn vị

=> Mẫu số ban đầu là: $b = a + 11$

Tăng tử số 3 đơn vị => Tử số mới là a + 3

Giảm mẫu số 4 đơn vị => Mẫu số mới là a + 11 – 4 = a + 7

Mà phân số mới bằng $\frac{3}{4}$ , khi đó ta có phương trình:

$\frac{a + 3}{a + 7} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4(a + 3) = 3(a + 7)$

$\Leftrightarrow 4a + 12 = 3a + 21$

$\Leftrightarrow a = 9(tm)$

Vậy phân số ban đầu là $\frac{9}{20}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính vận tốc cano
Một ca nô đi xuôi dòng từ bến C đến bến D lúc 7 giờ sáng, rồi ngay lập tức trở về và đến bến C lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi xuôi dòng. Biết hai bến cách nhau 36km và vận tốc dòng nước là 6km/h.
- A.
  $v = 20(km/h)$
- B.
  $v = 15(km/h)$
- C.
  $v = 18(km/h)$
- D.
  $v = 16(km/h)$
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc cano là x (km/h)

Điều kiện x > 6

Thời gian cano đi từ C đến D rồi lại về bến C là 11h30p – 7h = 4h30p = 4,5 giờ

Vận tốc cano xuôi dòng là x + 6 (km/h)

Vận tốc cano lúc ngược dòng là x – 6 (km/h)

Thời gian cano lúc xuôi và ngược dòng bằng thời gian từ C đến D rồi trở về C.

Khi đó ta có phương trình:

$\frac{36}{x + 6} + \frac{36}{x - 6} = 4,5 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 18(tm) \\ x = - 2(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy vận tốc cano bằng 18km/h.
Câu 14: Thông hiểu
Tính quãng đường ô tô phải đi
Một xe ô tô dự định đi từ Thanh Hóa đến chợ Sủng Thài (Hà Giang) với vận tốc 48km/h, sau khi đi được 1h thì xe dừng lại 15 phút tại trạm dừng chân. Do đó để đến Hà Nội đúng dự định ô tô phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường Thanh Hóa – chợ Sủng Thài.
- A.
  $520km$
- B.
  $485km$
- C.
  $540km$
- D.
  $515km$
Hướng dẫn:
Gọi quãng đường cần tìm là x (km)
Điều kiện x > 0
Lập bảng:

S
v
t
Dự định
x
48
$\frac{x}{48}$
Thực tế
x
54
$\frac{x}{54}$
Theo dữ kiện đề bài ta có phương trình:
$\frac{x}{48} = \frac{x}{54} + 1 +\frac{1}{4} \Rightarrow x = 540(tm)$
Vậy quãng đường cần tìm là 540km.
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Một canô có vận tốc x (km/h) đi trên dòng sông, biết vận tốc dòng chảy là 6km/h. Vận tốc cano khi đi ngược dòng là:
- A.
  $x - 6$ km/h
- B.
  $\frac{x + 6}{2}$ km/h
- C.
  $x + 6$ km/h
- D.
  $x^{2} + 36$ km/h
Hướng dẫn:
Vận tốc khi ngược dòng là $x - 6$ (km/h).