Bài tập cuối chương 6 Hàm số y = ax², (a≠0). Phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Hai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong $6$ giờ $40$ phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai là $3$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao nhiêu lâu thì xong công việc?

Đáp án:

Công nhân thứ nhất làm xong công việc một mình trong 12 giờ.

Công nhân thứ hai làm xong công việc một mình trong 15 giờ.

Đáp án là:

Hai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong $6$ giờ $40$ phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai là $3$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao nhiêu lâu thì xong công việc?

Đáp án:

Công nhân thứ nhất làm xong công việc một mình trong 12 giờ.

Công nhân thứ hai làm xong công việc một mình trong 15 giờ.

Ta có: $6$ giờ $40$ phút = $6\frac{2}{3}$ giờ.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ)

Điều kiện $x > 6\frac{2}{3}$

=> Thời gian công nhân thứ hai làm xong công việc một mình là: $x + 3(h)$

Mỗi giờ công nhân thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ công nhân thứ hai làm được $\frac{1}{x + 3}$ (công việc)

Theo đề bài, hai công nhân cùng làm thì hoàn thành công việc trong $6\frac{2}{3}$ giờ

Nên mỗi giờ họ cùng làm được $1:6\frac{2}{3} = \frac{3}{20}$ (công việc)

Ta có phương trình như sau:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{20} \Leftrightarrow 3x^{2} - 31x - 60 = 0$

$\Delta = 31^{2} - 4.3.( - 60) = 1681 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{5}{3}(ktm) \\x = 12(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là 12 giờ, thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ.

Câu 2: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Biết rằng diện tích của một mặt cầu bán kính $R$ được xác định bởi công thức $S = 4\pi R^{2}$ . Nếu bán kính $R$ tăng lên $5$ lần thì diện tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

A.
$15$
B.
$10$
C.
$25$
D.
$5$

Hướng dẫn:

Giả sử $R' = 5R$

Suy ra $S' = 4\pi R'^{2} = 4\pi(5R)^{2} = 25.4.\pi.R = 25S$

Vậy khi bán kính R tăng lên 5 lần thì diện tích tăng 25 lần.

Câu 3: Nhận biết

Tính giá trị của hàm số

Giá trị của hàm số $y = f(x) = - 5x^{2}$ tại $x_{0} = - 2$ là:

A.
$- 10$
B.
$40$
C.
$- 20$
D.
$20$

Hướng dẫn:

Ta có: $x_{0} = - 2$

$\Rightarrow f( - 2) = - 5.( - 2)^{2} = - 20$

Vậy đáp án cần tìm là: $- 20$

Câu 4: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh góc vuông của tam giác

Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 20cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4cm. Một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó có độ dài là:

A.
16
B.
15
C.
13
D.
14

Hướng dẫn:

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là $x(cm)$

Điều kiện: $x>0$

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là $x+4(cm)$

Vì cạnh huyền bằng 20cm nên theo định lý Py - ta - go ta có:

$\begin{matrix} {x^2} + {\left( {x + 4} ight)^2} = {20^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x + 4} ight)^2} = 400 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - 384 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 12\left( N ight)} \\ {x = - 16\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là $12cm$ và $16cm.$

Câu 5: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Cho hai số biết số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là:

A.
$\frac{x}{5}$
B.
$\frac{5}{x}$
C.
$x + 5$
D.
$5x$

Hướng dẫn:

Vì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng $\frac{1}{5}$ số thứ nhất. Khi đó số thứ hai là: $\frac{x}{5}$ .

Câu 6: Thông hiểu

Xác định tham số m

Cho phương trình $mx^{2} - 3x + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình vô nghiệm?

A.
$m < \frac{9}{4}$
B.
$m \leq \frac{9}{4}$
C.
$m > \frac{9}{4}$
D.
$m \geq \frac{9}{4}$

Hướng dẫn:

Xét $a = 0 \Leftrightarrow m = 0$ phương trình đã cho trở thành $- 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Vậy phương trình có một nghiệm.

Xét $a eq 0 \Leftrightarrow m eq 0$ phương trình vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ 9 - 4m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m > \frac{9}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > \frac{9}{4}$

Vậy $m > \frac{9}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

Câu 7: Nhận biết

Chọn câu đúng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số $y = (m + 2)x^{2}$ có đồ thị đi qua điểm $(−1; 3)$ . Khi đó giá trị của m tương ứng là

A.
$m = 2$
B.
$m = 0$
C.
$m = - 1$
D.
$m = 1$

Hướng dẫn:

Thay $x = -1; y = 3$ vào $y = (m + 2)x^{2}$ ta được:

$3 = (m + 2).( - 1)^{2} \Leftrightarrow m = 3 - 2 = 1$

Vậy $m = 1$ là đáp án cần tìm.

Câu 8: Nhận biết

Tìm câu sai

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
$\sqrt{3}x = 7x^{2} + 8 \Leftrightarrow 7x^{2} - \sqrt{3}x + 8 = 0$ với $a = 7;b = - \sqrt{3};c = 8$
B.
$- 2x^{2} + 1 = 2x - 4 \Leftrightarrow 2x^{2} - 2x + 5 = 0$ với $a = 2;b = - 2;c = 5$
C.
$2x^{2} - 5 = 3x \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x - 5 = 0$ với $a = 2;b = - 3;c = - 5$
D.
$x^{2} = 2mx \Leftrightarrow x^{2} - 2mx = 0$ với $a = 1;b = - 2m;c = 0$

Hướng dẫn:

Câu sai là: “ $- 2x^{2} + 1 = 2x - 4 \Leftrightarrow 2x^{2} - 2x + 5 = 0$ với $a = 2;b = - 2;c = 5$ ”

Vì $- 2x^{2} + 1 = 2x - 4 \Leftrightarrow - 2x^{2} - 2x + 5 = 0$ với $a = - 2;b = - 2;c = 5$ .

Câu 9: Vận dụng

Tìm số bé

Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là 3 và hiệu các bình phương của chúng bằng 360. Tìm số bé hơn.

A.
9
B.
21
C.
10
D.
12

Hướng dẫn:

Gọi số thứ nhất là a; số thứ hai là b

Điều kiện: $a; b∈\mathbb{N^*}$

Giả sử $a>b$

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là 3 nên ta có $a-2b=3⇒a=2b+3$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng 360 nên ta có phương trình:

${a^2} - {b^2} = 360\left( * ight)$

Thay $a=2b+3$ vào (*) ta được:

$\begin{matrix} {\left( {2b + 3} ight)^2} - {b^2} = 360 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{b^2} + 12b - 351 = 0 \hfill \\ \Delta ' = 1089 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 33 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = \dfrac{{ - 6 + 33}}{3} = 9\left( {tm} ight)} \\ {b = \dfrac{{ - 6 - 33}}{3} = - 13\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ b = 9 \Rightarrow a = 2.9 + 3 = 21 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy số bé là 9.

Câu 10: Thông hiểu

Xác định hàm số

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = - 2x^{2}$
B.
$y = - x^{2}$
C.
$y = x^{2}$
D.
$y = 2x^{2}$

Hướng dẫn:

Từ hình vẽ ta suy ra $a <0$

Loại các hàm số $y = x^{2}$ và $y = 2x^{2}$ .

Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ $( -1;1)$ thỏa mãn hàm số $y = -x^{2}$

Vậy hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ là: $y = - x^{2}$ .

Câu 11: Thông hiểu

Tìm giá trị tham số m

Với giá trị nào của tham số m để phương trình $x^{2} - (m + 3)x + m^{2} = 0$ có nghiệm bằng 1?

A.
$m \in \left\{ 1; - 2 ight\}$
B.
$m \in \left\{ 1;2 ight\}$
C.
$m \in \left\{ - 1; - 2 ight\}$
D.
$m \in \left\{ - 1;2 ight\}$

Hướng dẫn:

Vì $x = 1$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - (m + 3)x + m^{2} = 0$ nên

$1^{2} - (m + 3).1 + m^{2} = 0 \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)(m - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m \in \left\{ - 1;2 ight\}$ thì phương trình $x^{2} - (m + 3)x + m^{2} = 0$ có 1 nghiệm bằng 1.

Câu 12: Nhận biết

Chọn kết luận đúng

Giả sử $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0)$ , có biệt thức $\Delta' > 0$ . Kết luận nào sau đây đúng

A.
Hai nghiệm của phương trình là $x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta}}{2a};x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta}}{2a}$
B.
Hai nghiệm của phương trình là $x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$
C.
Hai nghiệm của phương trình là $x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{2a};x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{2a}$ .
D.
Hai nghiệm của phương trình là $x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \frac{b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$

Hướng dẫn:

Kết luận đúng là:

“Hai nghiệm của phương trình là $x_{1} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$ ”.

Câu 13: Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - mx + m - 1 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 ight)}$ ?

A.
$T_{\min} = - 2$
B.
$T_{\min} = 0$
C.
$T_{\min} = - \frac{1}{2}$
D.
$T_{\min} = 1$

Hướng dẫn:

Ta có: $\Delta = (m - 2)^{2} \geq 0;\forall m$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó:

$T = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 ight)}$

$= \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{2} + 2}$

$= \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} + 2}$

$= \frac{2(m - 1) + 3}{m^{2} + 2} = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2}$

$T = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{4m + 2}{2\left( m^{2} + 2 ight)}$

$= \frac{\left( m^{2} + 4m + 4 ight) - \left( m^{2} + 2 ight)}{2\left( m^{2} + 2 ight)}$

$= \frac{(m + 2)^{2}}{2\left( m^{2} + 2 ight)} - \frac{1}{2} \geq - \frac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $T_{\min} = - \frac{1}{2}$ .

Câu 14: Thông hiểu

Định giá trị m

Cho hàm số $y = ( - 3m + 1)x^{2}$ . Tìm $m$ để đồ thị đi qua điểm $A(x;y)$ với $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = - 2 \\ x - 2y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ ?

A.
$m = 3$
B.
$m = - 3$
C.
$m = - \frac{1}{3}$
D.
$m = \frac{1}{3}$

Hướng dẫn:

Ta có đồ thị đi qua điểm $A(x;y)$ với $(x;y)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = - 2 \\ x - 2y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = - 2 \\ x - 2y = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = - 2 \\ x = - 3 + 2y \\ \end{matrix} ight.\ \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5y = 10 \\ x = - 3 + 2y \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(1;2) \\ \end{matrix}$

Thay $x = 1;y = 2$ vào hàm số $y = ( - 3m + 1)x^{2}$ ta được:

$2 = ( - 3m + 1).1^{2} \Leftrightarrow - 3m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = - \frac{1}{3}$ .

Câu 15: Thông hiểu

Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu

Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng $153cm^2$ . Tìm chu vi của hình chữ nhật ban đầu.

A.
36
B.
16
C.
32
D.
34

Hướng dẫn:

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu $(x > 0) (cm)$

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: $3x (cm)$

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: $x + 5 (cm)$

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: $3x + 5 (cm)$

Theo đề bài ta có phương trình:

$\begin{matrix} \left( {x + 5} ight)\left( {3x + 5} ight) = 153 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 20x - 128 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4\left( {tm} ight)} \\ {x = - \dfrac{{32}}{3}\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu lần lượt là: 12cm và 4cm.

=> Chu vi hình chữ nhật ban đầu là: $(12 + 4).2 = 32 (cm)$ .

Câu 16: Thông hiểu

Tìm tham số m

Cho phương trình $mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm kép?

A.
$m = \frac{1}{2}$
B.
$m = 0$
C.
$m = - \frac{1}{4}$
D.
$m = - 1$

Hướng dẫn:

Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a eq 0 \\\Delta' = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\4m + 1 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{4}$

Vậy phương trình có nghiệm kép khi $m = - \frac{1}{4}$ .

Câu 17: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Người ta đổ thêm $100g$ nước vào một bình dung dịch chứa $50g$ muối thì nồng độ dung dịch giảm $25\%$ . Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

Đáp án: 50 (gam nước)

Đáp án là:

Người ta đổ thêm $100g$ nước vào một bình dung dịch chứa $50g$ muối thì nồng độ dung dịch giảm $25\%$ . Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

Đáp án: 50 (gam nước)

Khi đó nồng độ muối của dung dịch là $\frac{50}{x + 150}$

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{50}{x + 50} - \frac{50}{x + 150} = 25\%$

$\Leftrightarrow x^{2} + 200x - 12500 = 0$

$\Delta = 100^{2} + 12500 = 22500$

$x_{1} = \frac{- 100 - 150}{1} = - 250(ktm)$

$x_{2} = \frac{- 100 + 150}{1} = 50(tm)$

Vậy trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa 50 gam nước.

Câu 18: Nhận biết

Xác định hàm số thích hợp

Hàm số nào dưới đây có dạng $y = ax^{2};(a eq 0)$ ?

A.
$y = - \frac{1}{4}x^{2} + 1$
B.
$y = 0x^{2}$
C.
$y = 5\frac{4}{3}x^{2}$
D.
$y = 2x$

Hướng dẫn:

Hàm số có dạng $y = ax^{2};(a eq 0)$ là $y = 5\frac{4}{3}x^{2}$ .

Câu 19: Thông hiểu

Tính vận tốc lúc đi của thuyền

Một con thuyền chở cát từ thành phố A đến thành phố B theo một đường sông dài $120km$ . Trên đường đi thuyền có nghỉ lại tại một trạm nghỉ trong một giờ. Khi về, thuyền đi theo đường khác dài hơn đường đi $5km$ và vận tốc lúc về nhỏ hơn vận tốc lúc đi là $5km/h$ . Tính vận tốc của thuyền lúc đi, biết rằng thời gian đi bằng thời gian về.