Luyện tập Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác
Một vườn có hình vuông cạnh là $50m$ , người ta buộc một con dê ở góc vườn với sợi dây thừng dài $15m$ . Hỏi với cách buộc đó thì con dê có thể ăn cỏ với diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
- A.
  $2500\pi cm^{2}$
- B.
  $\frac{225\pi}{4}cm^{2}$
- C.
  $450\pi cm^{2}$
- D.
  $300\pi cm^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$R = 15m$

Người ta buộc con dê ở góc vườn $\Rightarrow n^{0} = 90^{0}$

Con dê có thể ăn cỏ với diện tích lớn nhất là

$S = \frac{\pi R^{2}.n}{360} = \frac{\pi 15^{2}.90}{360} = \frac{225}{4}\pi\left( m^{2} ight)$
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Độ dài của nửa đường tròn đường kính $8R$ là:
- A.
  $\pi R$
- B.
  $8\pi R$
- C.
  $4\pi R$
- D.
  $2\pi R$
Hướng dẫn:
Nửa đường tròn có độ dài:

$l = \frac{P}{2} = \frac{\pi d}{2} = \frac{\pi 8R}{2} = 4\pi R$
Câu 3: Nhận biết
Tính chu vi vành bánh xe
Chu vi vành xe đạp có đường kính $60cm$ là:
- A.
  $130\pi cm$
- B.
  $120\pi cm$
- C.
  $65\pi cm$
- D.
  $32,5\pi cm$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính chu vi ta được

$C = \pi.d = 65\pi(cm)$

Vậy chu vi vành bánh xe là $65\pi cm$ .
Câu 4: Nhận biết
Xác định bán kính đường tròn
Bán kính đường tròn có độ dài $\frac{66}{5}cm$ là:
- A.
  $\frac{66}{5\pi}cm$
- B.
  $\frac{31}{5\pi}cm$
- C.
  $\frac{61}{10\pi}cm$
- D.
  $\frac{33}{5\pi}cm$
Hướng dẫn:
Từ công thức tính chu vi đường tròn ta có:

$C = 2\pi R \Rightarrow R =\dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{\dfrac{66}{5}}{2\pi} =\dfrac{33}{5\pi}(cm)$
Câu 5: Thông hiểu
Tính diện tích chân đống cát
Chân một đống cát đổ trên nền đất phẳng nằm ngang là một hình tròn có chu vi bằng $12m$ . Hỏi chân đống cát đó chiếm diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{6}{\pi}m^{2}$
- B.
  $\frac{12}{\pi}m^{2}$
- C.
  $\frac{24}{\pi}m^{2}$
- D.
  $\frac{36}{\pi}m^{2}$
Hướng dẫn:
Bán kính của đường tròn là $R = \frac{C}{2\pi} = \frac{12}{2\pi} = \frac{6}{\pi}(m)$

Suy ra diện tích chân đống cát là: $S = \pi R^{2} = \pi\left( \frac{6}{\pi} ight)^{2} = \frac{36}{\pi}\left( m^{2} ight)$
Câu 6: Vận dụng
Tính chu vi phần hình theo yêu cầu
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Vẽ bốn cung phần tư đường tròn nằm trong hình vuông có tâm theo thứ tự là $A;B;C;D$ và bán kính bằng $a$ ta được hình bốn cánh hoa (như hình vẽ).

Hỏi chu vi của bốn cánh hoa là:
- A.
  $\frac{4}{3}\pi a$
- B.
  $\frac{3}{4}\pi a$
- C.
  $\frac{3}{2}\pi a$
- D.
  $\frac{2}{3}\pi a$
Hướng dẫn:
Ta có:

Chu vi BD là $\frac{1}{4}.2.\pi.a = \frac{1}{2}\pi a$

Chu vi các cánh hoa còn lại là $4.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\pi.a = \frac{2}{3}\pi a$

Chu vi hình bốn cánh hoa là: $\frac{4}{3}\pi a$
Câu 7: Thông hiểu
Tính diện tích phần hình vẽ số 1
Cho hình vẽ sau:

Tính diện tích phần đánh số 1?
- A.
  $1,93cm^{2}$
- B.
  $5,47cm^{2}$
- C.
  $5,46cm^{2}$
- D.
  $1,95cm^{2}$
Hướng dẫn:
Diện tích hình vuông là $(2.1,5)^{2} = 9cm^{2}$

Tổng diện tích các phần 2, 3, 4, 5 là:

$4.\frac{1}{4}\pi.1,5^{2} = 2,25\pi\left( cm^{2} ight)$

Khi đó diện tích phần 1 là: $S_{1} = 9 - 2,25\pi \approx 1,93cm^{2}$
Câu 8: Nhận biết
Tính bán kính Trái Đất
Biết rằng đường tròn lớn của Trái Đất khoảng $40000km$ thì bán kính Trái Đất là:
- A.
  $\frac{40000}{\pi}km$
- B.
  $\frac{30000}{\pi}km$
- C.
  $\frac{20000}{\pi}km$
- D.
  $\frac{10000}{\pi}km$
Hướng dẫn:
Bán kính Trái Đất là

$R = \frac{P}{2\pi} = \frac{20000}{\pi}(km)$
Câu 9: Thông hiểu
Tính diện tích nửa đường tròn
Diện tích của nửa đường tròn có đường kính $4R$ bằng:
- A.
  $2\pi R^{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}\pi R^{2}$
- C.
  $4\pi R^{2}$
- D.
  $8\pi R^{2}$
Hướng dẫn:
Nửa đường tròn có diện tích là:

$S' = \frac{1}{2}.S = \frac{1}{2}\pi R^{2}$

$= \frac{\pi\left( \dfrac{d}{2}ight)^{2}}{2} = \dfrac{\pi\left( \dfrac{4R}{2} ight)^{2}}{2} = 2\pi R^{2}$
Câu 10: Thông hiểu
Tính số vòng bánh xe sau trước lăn được
Một máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau lớn hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau và bánh xe trước có đường kính lần lượt là $1,672m$ và $88cm$ . Khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?
- A.
  $19$ vòng
- B.
  $36$ vòng
- C.
  $29$ vòng
- D.
  $56$ vòng
Hướng dẫn:
Cả hai bánh cùng đi một quãng đường nên ta công thức

$n_{t}.2\pi R_{t} = n_{s}.2\pi R_{s}$

$\Rightarrow n_{t} = \frac{n_{s}.2\pi R_{s}}{2\pi R_{t}} = \frac{10.1,672}{0,88} = 19$ (vòng)

Vậy bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được 19 vòng.
Câu 11: Thông hiểu
Tính diện tích hình vành khăn
Diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn $(O;4cm)$ và $(O;3cm)$ bằng:
- A.
  $7cm^{2}$
- B.
  $25\pi cm^{2}$
- C.
  $7\pi cm^{2}$
- D.
  $25cm^{2}$
Hướng dẫn:
Diện tích hình vành khăn là:

$S = \pi\left( R^{2} - r^{2} ight) = \pi\left( 4^{2} - 3^{2} ight) = 7\pi\left( cm^{2} ight)$

Vậy diện tích hình vành khăn là $7\pi cm^{2}$
Câu 12: Vận dụng cao
Tính diện tích hình giới hạn bởi hai yếu tố
Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $AB = R\sqrt{3}$ . Diện tích hình giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$ bằng:
- A.
  $\frac{R^{2}}{12}\left( 3\sqrt{3} - 4\pi ight)$
- B.
  $\frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - 3\sqrt{3} ight)$
- C.
  $\frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - \sqrt{3} ight)$
- D.
  $\frac{R^{2}}{12}(\pi - 3)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Kẻ $OH\bot AB$ tại H. Khi đó ta có:

$HB = \frac{R\sqrt{3}}{2};sin\widehat{HOB} = \frac{HB}{OB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{HOB} = 60^{0} \Rightarrow \widehat{AOB} = 120^{0}$

Diện tích hình quạt tạo bởi cung nhỏ AB là:

$S_{1} = \frac{\pi R^{2}n}{360} = \frac{\pi R^{2}.120}{360} = \frac{\pi R^{2}}{3}$

$OH = \sqrt{OB^{2} - HB^{2}} = \frac{R}{2}$

Diện tích tam giác OAB là $S_{2} = \frac{1}{2}OH.AB = \frac{1}{2}.\frac{R}{2}.R\sqrt{3} = \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}$

Diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB là

$S = S_{1} - S_{2} = \frac{\pi R^{2}}{3} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - 3\sqrt{3} ight)$

Vậy diện tích cần tìm là $\frac{R^{2}}{12}\left( 4\pi - 3\sqrt{3} ight)$ (đơn vị diện tích).
Câu 13: Thông hiểu
Tính số đo cung AB
Một hình quạt $OAB$ của đường tròn $(O;R)$ có diện tích $\frac{7\pi R^{2}}{24}(dvdt)$ . Khi đó số đo cung $AB$ là:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $50^{0}$
- D.
  $105^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$S = \frac{\pi R^{2}n}{360} \Rightarrow n = \frac{360S}{\pi R^{2}} = \frac{360.7\pi R^{2}}{24\pi R^{2}} = 105^{0}$

Vậy số đo cung AB là $105^{0}$
Câu 14: Nhận biết
Tính diện tích hình quạt
Cho hình vẽ:

Tính diện tích hình quạt tròn $OAqB$ ?
- A.
  $\frac{\pi}{4}cm^{2}$
- B.
  $\frac{3\pi}{4}cm^{2}$
- C.
  $\frac{5\pi}{6}cm^{2}$
- D.
  $\frac{2\pi}{3}cm^{2}$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn ta có:

$S_{OAqB} = \frac{\pi.R^{2}.75}{360} = \frac{\pi.2^{2}.75}{360} = \frac{5\pi}{6}\left( cm^{2} ight)$
Câu 15: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Độ dài cung $60^{0}$ của một đường tròn có bán kính $2dm$ là:
- A.
  $40\pi cm$
- B.
  $20\pi cm$
- C.
  $\frac{20\pi}{3}cm$
- D.
  $\frac{20\pi}{6}cm$
Hướng dẫn:
Ta có: $n = 60^{0};R = 2dm = 20cm$

Khi đó độ dài cung $60^{0}$ là:

$l = \frac{n.\pi.R}{180^{0}} = \frac{60^{0}.\pi.20}{180^{0}} = \frac{20\pi}{3}cm$