Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Tính năng suất dự định

Một công nhân dự định làm $70$ sản phẩm trong thời gian quy định. Nhưng do sử dụng công nghệ máy móc mới nên tăng năng suất thêm $5$ sản phẩm mỗi giờ. Do đó, không những hoàn thành kế hoạch trước thời hạn $40$ phút mà còn làm thêm được $10$ sản phẩm so với dự định. Tính năng suất dự định của công nhân?

A.
$25$ sản phẩm/ giờ
B.
$20$ sản phẩm/ giờ
C.
$30$ sản phẩm/ giờ
D.
$15$ sản phẩm/ giờ

Hướng dẫn:

Gọi năng suất dự định là $x$ (sản phẩm/ giờ). Điều kiện $x \in \mathbb{N}^{*}$

Thời gian dự định làm $70$ sản phẩm là: $\frac{70}{x}(h)$

Thời gian thực tế làm $80$ sản phẩm với năng suất $x + 5$ (sản phẩm/ giờ) là: $\frac{80}{x + 5}(h)$

Theo đề bài công nhân hoàn thành trước kế hoạch 40 phút ( $= \frac{2}{3}(h)$ )

Ta có phương trình:

$\frac{70}{x} - \frac{80}{x + 5} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x^{2} + 20x - 525 = 0$

$\Delta = 20^{2} - 4.( - 525) = 2500 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 15(tm) \\ x = - 35(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy năng suất dự định là: $15$ sản phẩm/ giờ.

Câu 2: Thông hiểu

Tìm chiều dài khu vườn

Khu vườn hình chữ nhật có diện tích $360m^{2}$ , biết rằng chiều rộng bằng $\frac{2}{5}$ chiều dài. Hỏi chiều rộng khu vườn bằng bao nhiêu?

A.
$13m$
B.
$14m$
C.
$12m$
D.
$11m$

Hướng dẫn:

Gọi $x (m)$ là chiều dài khu vườn $(x> 0)$

Chiều rộng bằng $\frac{2}{5}$ chiều dài nên chiều rộng có độ dài là: $\frac{2}{5}x(m)$

Theo bài ra ta có diện tích khu vườn bằng $360m^{2}$ .

Khi đó phương trình là:

$x.\frac{2}{5}x = 360 \Leftrightarrow x^{2} = 900 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 30(tm) \\ x = - 30(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy chiều rộng mảnh vườn là: $\frac{2}{5}.30 = 12m$ .

Câu 3: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Hai vận động viên Tuấn và Hưng cùng đi xe đạp từ địa điểm A đến trung tâm tập luyện với quãng đường $30km$ , khởi hành cùng một lúc. Vận tốc đi xe của Tuấn lớn hơn vận tốc của Hưng là $3km/h$ nên Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ. Kết luận nào sau đây đúng?

A.
Vận tốc đi xe của Tuấn là $12km/h$ , vận tốc đi xe của Hưng là $12km/h$ .
B.
Vận tốc đi xe của Tuấn là $24km/h$ , vận tốc đi xe của Hưng là $21km/h$ .
C.
Vận tốc đi xe của Tuấn là $15km/h$ , vận tốc đi xe của Hưng là $12km/h$ .
D.
Vận tốc đi xe của Tuấn là $21km/h$ , vận tốc đi xe của Hưng là $24km/h$ .

Hướng dẫn:

Gọi vận tốc đi xe của Tuấn là x (km/h) điều kiện x > 0

Suy ra vận tốc đi xe của Hưng là $x – 3 (km/h)$

Thời gian đi xe của Tuấn là: $\frac{30}{x}(h)$

Thời gian đi xe của Hưng là: $\frac{{30}}{{x - 3}}\left( h ight)$

Vì Tuấn đến trung tâm trước Hưng nửa giờ nên thời gian đi của Tuấn ít hơn thời gian của Hưng là $\frac{1}{2}(h)$ .

Khi đó ta có phương trình:

$\frac{30}{x - 3} - \frac{30}{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2} - 3x - 180 = 0$

$\Delta 3^{2} - 4.( - 180) = 729 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = - 12(ktm) \\ x = 15(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy vận tốc đi xe của Tuấn là $15km/h$ , vận tốc đi xe của Hưng là $12km/h$ .

Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một chiếc xe lu có chu vi bánh trước lớn hơn chu vi bánh sau là $0,5m$ . Khi đi trên đoạn đường dài $100m$ thì bánh sau nhiều hơn bánh trước là $10$ vòng. Xác định chu vi của mỗi bánh xe?

Đáp án:

Chu vi bánh trước bằng: 2,5

Chu vi bánh sau bằng: 2

Đáp án là:

Một chiếc xe lu có chu vi bánh trước lớn hơn chu vi bánh sau là $0,5m$ . Khi đi trên đoạn đường dài $100m$ thì bánh sau nhiều hơn bánh trước là $10$ vòng. Xác định chu vi của mỗi bánh xe?

Đáp án:

Chu vi bánh trước bằng: 2,5

Chu vi bánh sau bằng: 2

Gọi chu vi bánh trước là $x (m)$ điều kiện $x > 0$

Chu vi bánh sau là $x - 0,5 (m)$

Vì hai bánh xe cùng lăn trên đường 100 (m)

Số vòng quay bánh trước là $\frac{100}{x}$ (vòng).

Số vòng quay bánh sau là $\frac{100}{x - 0,5}$ (vòng).

Theo bài ra ta có: Khi đi trên đoạn đường dài $100m$ thì bánh trước sau nhiều hơn bánh trước là $10$ vòng

Suy ra phương trình cần tìm là:

$\frac{100}{x - 0,5} - \frac{100}{x} = 10 \Leftrightarrow 10x^{2} - 5x - 50 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2,5(tm) \\ x = - 2(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy chu vi bánh trước là 2,5m và chi vi bánh sau là 2m.

Câu 5: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được một tiền bằng nhau. Mộ người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được $2\frac{6}{3}$ đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?

Đáp án:

Số trứng của người thứ nhất là 40 quả.

Số trứng của người thứ hai là 60 quả.

Đáp án là:

Hai nông dân đem 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được một tiền bằng nhau. Mộ người nói với người kia: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng”. Người kia nói: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi chỉ bán được $2\frac{6}{3}$ đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu trứng?

Đáp án:

Số trứng của người thứ nhất là 40 quả.

Số trứng của người thứ hai là 60 quả.

Gọi số trứng của người thứ nhất là $x$ (quả).

Điều kiện: $x \in \mathbb{N}^{*};x < 100$

Suy ra số trứng của người thứ hai là $100 - x$ (quả).

Giá tiền một quả trứng của người thứ nhất là $\frac{15}{100 - x}$ (đồng).

Giá tiền một quả trứng của người thứ hai là $\frac{20}{3x}$ (đồng).

Số tiền thu được của người thứ nhất là $\frac{15x}{100 - x}$ (đồng).

Số tiền thu được của người thứ hai là $\frac{20(100 - x)}{3x}$ (đồng).

Do đó ta có phương trình:

$\frac{15x}{100 - x} = \frac{20(100 - x)}{3x}$

Giải phương trình ta được x = −200 (loại) hay x = 40 (nhận).

Vậy số trứng của người thứ nhất là 40 quả và số trứng của người thứ hai là 60 quả.

Câu 6: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích $100m^{2}$ . Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên $2m$ và giảm chiều dài của thửa ruộng đi $5m$ thì diện tích thửa ruộng tăng thêm $5m^{2}$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A.
Chiều dài ban đầu là $40m$ , chiều rộng ban đầu là $10m$ .
B.
Chiều dài ban đầu là $20m$ , chiều rộng ban đầu là $10m$ .
C.
Chiều dài ban đầu là $45m$ , chiều rộng ban đầu là $15m$ .
D.
Chiều dài ban đầu là $20m$ , chiều rộng ban đầu là $5m$ .

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài ban đầu của thửa ruộng là $x (m)$

Điều kiện $x > 0$

Suy ra chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là: $\frac{100}{x}(m)$

Theo đề bài: nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên $2m$ và giảm chiều dài của thửa ruộng đi $5m$ thì diện tích thửa ruộng tăng thêm $5m^{2}$ .

Ta có phương trình:

$(x - 5)\left( \frac{100}{x} + 2 ight) = 100 + 5$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - 15x - 500 = 0$

$\Delta = 15^{2} - 4.2.( - 500) = 4225 > 0$ nên phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{25}{2}(ktm) \\x = 20(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy chiều dài ban đầu là $20m$ , chiều rộng ban đầu là $\frac{100}{20} = 5(m)$ .

Câu 7: Nhận biết

Tính diện tích hình chữ nhật

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $30m$ . Tính diện tích hình chữ nhật, biết rằng chiều dài hơn chiều rộng là $5m$ ?

A.
$S = 100m^{2}$
B.
$S = 70m^{2}$
C.
$S = 50m^{2}$
D.
$S = 55m^{2}$

Hướng dẫn:

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là $x(m);(x > 0)$

Suy ra chiều dài của mảnh vườn là $x + 5(m)$

Theo đề bài có chu vi mảnh vườn bằng $30m$ nên ta có phương trình:

$\left\lbrack x + (x + 5) ightbrack.2 = 30$

$\Leftrightarrow x = 5(tm)$

Suy ra chiều dài của mảnh vườn bằng 10m và chiều rộng bằng 5m.

Vậy diện tích mảnh vườn bằng $S = 50m^{2}$ .

Câu 8: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Cho hai số tự nhiên. Biết số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là:

A.
$8x$
B.
$\frac{8}{x}$
C.
$x + 8$
D.
$\frac{x}{8}$

Hướng dẫn:

Vì số thứ nhất gấp 8 lần số thứ hai nên số thứ hai bằng $\frac{1}{8}$ lần số thứ nhất.

Vậy khi số thứ nhất là $x$ thì số thứ hai sẽ là $\frac{x}{8}$ .

Câu 9: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Hai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong $6$ giờ $40$ phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai là $3$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao nhiêu lâu thì xong công việc?

Đáp án:

Công nhân thứ nhất làm xong công việc một mình trong 12 giờ.

Công nhân thứ hai làm xong công việc một mình trong 15 giờ.

Đáp án là:

Hai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong $6$ giờ $40$ phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai là $3$ giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao nhiêu lâu thì xong công việc?

Đáp án:

Công nhân thứ nhất làm xong công việc một mình trong 12 giờ.

Công nhân thứ hai làm xong công việc một mình trong 15 giờ.

Ta có: $6$ giờ $40$ phút = $6\frac{2}{3}$ giờ.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ)

Điều kiện $x > 6\frac{2}{3}$

=> Thời gian công nhân thứ hai làm xong công việc một mình là: $x + 3(h)$

Mỗi giờ công nhân thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ công nhân thứ hai làm được $\frac{1}{x + 3}$ (công việc)

Theo đề bài, hai công nhân cùng làm thì hoàn thành công việc trong $6\frac{2}{3}$ giờ

Nên mỗi giờ họ cùng làm được $1:6\frac{2}{3} = \frac{3}{20}$ (công việc)

Ta có phương trình như sau:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{20} \Leftrightarrow 3x^{2} - 31x - 60 = 0$

$\Delta = 31^{2} - 4.3.( - 60) = 1681 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{5}{3}(ktm) \\x = 12(tm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là 12 giờ, thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ.

Câu 10: Nhận biết

Chọn biểu diễn đúng

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất 12km/h. Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là:

A.
$x - 12(km/h)$
B.
$x + 12(km/h)$
C.
$12x(km/h)$
D.
$\frac{x}{12}(km/h)$

Hướng dẫn:

Ô tô thứ hai đi chậm hơn ô tô thứ nhất $12km/h$ .

Suy ra vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là $12km/h$ .

Nếu gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km/h thì vận tốc xe thứ nhất là $x + 12 (km/h)$ .

Câu 11: Nhận biết

Chọn biểu diễn đúng

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A. Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là $2$ giờ. Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian của người thứ hai là:

A.
$(2 - x)(h)$
B.
$(x - 2)(h)$
C.
$2x(h)$
D.
$(x + 2)(h)$

Hướng dẫn:

Ta có:

Hai người đi hai xe khác nhau, khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A.

Người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 2 giờ nên thời gian đi của người thứ hai nhiều hơn của người thứ nhất 2 giờ.

Nếu gọi thời gian đi của người thứ nhất là x giờ thì thời gian của người thứ hai là: $(x + 2)(h)$ .

Câu 12: Nhận biết

Chọn trình tự sắp xếp đúng

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện như sau:

(1) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(2) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Trình tự giải toán đúng là:

A.
(2); (1); (3); (4); (5)
B.
(2); (3); (1); (4); (5)
C.
(1); (2); (5); (3); (4)
D.
(3); (2); (4); (5); (1)

Hướng dẫn:

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện lần lượt các bước sau

(1) Gọi ẩn và đặt điều kiện, đơn vị cho ẩn.

(2) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

(3) Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

(4) Giải phương trình

(5) Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Câu 13: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hai miếng kim loại, khối lượng của miếng kim loại thứ nhất và miếng kim loại thứ hai lần lượt là $880g$ và $858g$ . Thể tích của miếng kim loại thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng kim loại thứ hai là $10cm^{3}$ nhưng khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $1g/cm^{3}$ . Hỏi khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại bằng bao nhiêu? (Biết rằng khối lượng riêng của một vật được xác định bởi công thức $D = \frac{M}{V}$ trong đó, D là khối lượng riêng của vật $\left( g/cm^{3} ight)$ , V là thể tích của vật $\left( cm^{3} ight)$ và M là khối lượng của vật $(g)$ ).

Đáp án:

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 8,8 $\left( g/cm^{3} ight)$

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 $\left( g/cm^{3} ight)$

Đáp án là:

Cho hai miếng kim loại, khối lượng của miếng kim loại thứ nhất và miếng kim loại thứ hai lần lượt là $880g$ và $858g$ . Thể tích của miếng kim loại thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng kim loại thứ hai là $10cm^{3}$ nhưng khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $1g/cm^{3}$ . Hỏi khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại bằng bao nhiêu? (Biết rằng khối lượng riêng của một vật được xác định bởi công thức $D = \frac{M}{V}$ trong đó, D là khối lượng riêng của vật $\left( g/cm^{3} ight)$ , V là thể tích của vật $\left( cm^{3} ight)$ và M là khối lượng của vật $(g)$ ).

Đáp án:

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 8,8 $\left( g/cm^{3} ight)$

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 $\left( g/cm^{3} ight)$

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là $x\left( g/cm^{3} ight)$

Điều kiện $x > 1$

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $x - 1\left( g/cm^{3} ight)$

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là $V_{1} = \frac{880}{x}\left( cm^{3} ight)$

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là $V_{2} = \frac{880}{x - 1}\left( cm^{3} ight)$

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng kim loại thứ hai là $10cm^{3}$ nên ta có phương trình:

$V_{2} - V_{1} = 10 \Leftrightarrow \frac{880}{x - 1} - \frac{880}{x} = 10$

$\Leftrightarrow 5x^{2} + 6x - 440 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{44}{5} = 8,8(tm) \\x = - 10(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Kết luận:

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 8,8 $\left( g/cm^{3} ight)$

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 $\left( g/cm^{3} ight)$

Câu 14: Thông hiểu

Tính vận tốc riêng cano

Một cano xuôi dòng từ $A$ đến $B$ hết $1$ giờ $28$ phút và ngược dòng hết $2$ giờ. Biết vận tốc dòng nước là $3km/h$ . Vận tốc riêng của cano bằng bao nhiêu?

A.
$15km/h$
B.
$20km/h$
C.
$16km/h$
D.
$18km/h$

Hướng dẫn:

Đổi $1$ giờ $28$ phút bằng $\frac{4}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của cano bằng $x(km/h)$ .

Vận tốc của cano khi xuôi dòng là $x + 3(km/h)$

Vận tốc của cano khi ngược dòng là $x - 3(km/h)$

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{4}{3}(x + 3) = 2(x - 3) \Leftrightarrow x = 15(tm)$

Vậy vận tốc riêng của cano là $15(km/h)$ .

Câu 15: Thông hiểu

Tìm kết luận đúng

Hai vòi cùng chảy vào một bể thì đầy sau $7$ giờ $12$ phút. Nếu mỗi vòi chảy riêng mà đầy để thì tổng thời gian là $30$ giờ. Mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể trong thời gian bao lâu?

A.
Thời gian chảy riêng đầy để của vòi thứ nhất là 14 giờ, vòi thứ hai là 18 giờ. Hoặc ngược lại.
B.
Thời gian chảy riêng đầy để của vòi thứ nhất là 14 giờ, vòi thứ hai là 18 giờ.
C.
Thời gian chảy riêng đầy để của vòi thứ nhất là 12 giờ, vòi thứ hai là 18 giờ.
D.
Thời gian chảy riêng đầy để của vòi thứ nhất là 12 giờ, vòi thứ hai là 18 giờ. Hoặc ngược lại.

Hướng dẫn:

Ta có: 7 giờ 12 phút = $7\frac{1}{5}$ giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ)

Điều kiện $0 < x < 30$

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là $30 - x(h)$

Theo bài ra ta có:

Hai vòi cùng chảy mà đầy bể hết $7\frac{1}{5}$ giờ nên ta có phương trình:

$7\frac{1}{5}.\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{30 - x} ight) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 30x + 216 = 0$

$\Delta = 30^{2} - 4.216 = 36 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 18(tm) \\ x = 12(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng một mình đầy bể sau 12 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể một mình trong 18 giờ. Hoặc ngược lại.

Câu 16: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = AC = 12cm$ . Điểm $M \in AB$ . Tứ giác $MNCP$ là hình bình hành có đỉnh $N \in AC$ (như hình vẽ).

Hỏi $M$ cách $A$ một khoảng bằng bao nhiêu thì diện tích hình bình hành bằng $32cm^{2}$ ?

A.
$10cm$ hoặc $6cm$
B.
$8cm$ hoặc $4cm$
C.
$10cm$ hoặc $4cm$
D.
$8cm$ hoặc $6cm$

Hướng dẫn:

Gọi $MA = x;(x > 0)$ ta có: $MB = NC = 12 - x(cm)$

$S_{MPCN} = S_{ABC} - S_{BMP} - S_{AMN}$

$= 72 - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}(12 - x)^{2} = - x^{2} + 12x$

Ta có phương trình:

$- x^{2} + 12x = 32 \Leftrightarrow x^{2} - 12x + 32 = 0$

$\Delta = 12^{2} - 4.2.32 = 16 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 8 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy kết luận đúng là: $8cm$ hoặc $4cm$ .

Câu 17: Thông hiểu

Tính vận tốc lúc đi của thuyền

Một con thuyền chở cát từ thành phố A đến thành phố B theo một đường sông dài $120km$ . Trên đường đi thuyền có nghỉ lại tại một trạm nghỉ trong một giờ. Khi về, thuyền đi theo đường khác dài hơn đường đi $5km$ và vận tốc lúc về nhỏ hơn vận tốc lúc đi là $5km/h$ . Tính vận tốc của thuyền lúc đi, biết rằng thời gian đi bằng thời gian về.

A.
$40km/h$
B.
$30km/h$
C.
$60km/h$
D.
$50km/h$

Hướng dẫn:

Gọi thời gian của thuyền lúc đi là $x(km/h)$ . Điều kiện $x > 0$ . Khi đó vận tốc lúc về là $x - 5(km/h)$

Thời gian đi $120km$ của thuyền là $\frac{120}{x}(h)$

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ tại trạm nghỉ nên thời gian đi hết tất cả là $\frac{120}{x} + 1(h)$

Độ dài quãng đường lúc về là $120 + 5 = 125(km)$

Thời gian về là $\frac{120}{x - 5}(h)$

Theo bài ra thời gian đi bằng thời gian về nên ta có phương trình:

$\frac{120}{x} + 1 = \frac{120}{x - 5} \Leftrightarrow x^{2} - 10x - 600 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 30\left( {tm} ight) \hfill \\ x = - 20\left( {ktm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy vận tốc của thuyền lúc đi là $30km/h$ .

Câu 18: Thông hiểu

Xác định số xe chở hàng

Một đội xe tải cần chở $150$ tấn hàng. Ngày làm việc có $5$ xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên các xe còn lại phải chở thêm $5$ tấn mỗi xe. Hỏi đội xe tải ban đầu có bao nhiêu chiếc xe? Biết rằng mỗi xe chở số hàng như sau.

A.
$15$ xe
B.
$25$ xe
C.
$10$ xe
D.
$20$ xe

Hướng dẫn:

Gọi số xe ban đầu là $x$ chiếc

Điều kiện $x\mathbb{\in N};x > 0$ .

Lúc đầu mỗi xe dự định chở $\frac{150}{x}$ (tấn hàng)

Theo đề bài, mỗi xe phải chở thêm $5$ tấn hàng nên ta có phương trình:

$\frac{150}{x - 5} - \frac{150}{x} = 5$

$\Leftrightarrow 5x^{2} - 25x - 750 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10(ktm) \\ x = 15(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ban đầu đội xe tải có $15$ chiếc xe.

Câu 19: Vận dụng

Chọn kết luận đúng

Số học sinh của trường THPT A sau hai năm tăng từ $500$ lên $720$ học sinh. Vậy trung bình hằng năm, số học sinh trường đó tăng bao nhiêu phần trăm?

A.
$20\%$
B.
$10\%$
C.
$15\%$
D.
$25\%$

Hướng dẫn:

Gọi x là số phần trăm chỉ số học sinh tăng trung bình hằng năm

Điều kiện $x > 0$

Số học sinh tăng năm đầu là $500.\frac{x}{100}$ (học sinh)

Số học sinh tăng trong năm thứ hai là: $(500 + 5x).\frac{x}{100} = 5x + \frac{x^{2}}{20}$ (học sinh)

Theo bài ra ta có:

Sau hai năm số học sinh tăng là: $720 - 500 = 220$ (học sinh)

Khi đó ta có phương trình:

$5x + 5x + \frac{x^{2}}{20} = 220$

$\Leftrightarrow {x^2} + 200x - 4400 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 220(ktm) \\ x = 20(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hằng năm trung bình số học sinh tăng $20\%$ .

Câu 20: Vận dụng cao

Chọn đáp án đúng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

A.
$18$ máy
B.
$16$ máy
C.
$15$ máy
D.
$12$ máy

Hướng dẫn:

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy)

Điều kiện $x > 0$

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là $\frac{8000}{30x}$ (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

$B = 200000x + \frac{8000}{30x}.192000 = 200000x + \frac{51200000}{x}$ (đồng)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $200000x$ và $\frac{51200000}{x}$ , ta được:

$200000x + \frac{51200000}{x} \geq 2\sqrt{200000x.\frac{51200000}{x}} = 6400000$

Dấu bằng xảy ra khi

$200000x = \frac{{51200000}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 16\left( {tm} ight) \hfill \\ x = - 16\left( {ktm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 9 KNTT

Chương 1. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài học Video

Bài học video: Xác định nghiệm và biểu diễn nghiệm

Luyện tập Trắc nghiệm

Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài học Video

Luyện tập Trắc nghiệm

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài học Video

Luyện tập Trắc nghiệm

Bài tập cuối chương 1

Chương 2. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài học Video

Luyện tập: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

Bài học Video

Luyện tập: Bất đẳng thức và tính chất

Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài học Video

Luyện tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2

Chương 3. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài học Video

Luyện tập: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài học Video

Luyện tập: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài học Video

Luyện tập: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài học Video

Luyện tập: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài tập cuối chương 3

Chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài học Video

Luyện tập: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài học Video

Luyện tập: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài tập cuối chương 4

Chương 5. Đường tròn

Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Bài học Video

Luyện tập: Mở đầu về đường tròn

Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Bài học Video

Luyện tập: Cung và dây của một đường tròn

Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài học Video

Luyện tập: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài học Video

Luyện tập: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài học Video

Luyện tập: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài tập cuối chương 5

Đề thi học kì I

Đề thi học kì 1 (Đề 1)

Đề thi học kì 1 (Đề 2)

Đề thi học kì 1 (Đề 3)

Đề thi học kì 1 (Đề 4)

Đề thi học kì 1 (Đề 5)

Chương 6. Hàm số y = ax², (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 18. Hàm số y = ax², (a ≠ 0)

Bài học Video

Luyện tập Hàm số y = ax², (a ≠ 0)

Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

Bài học Video

Luyện tập Phương trình bậc hai một ẩn KNTT

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Bài học Video