Luyện tập Mở đầu về đường tròn Kết nối tri thức

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn kết quả chính xác
Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó có đặc điểm gì?
- A.
  Tam giác tù
- B.
  Tam giác đều
- C.
  Tam giác cân
- D.
  Tam giác vuông
Hướng dẫn:
Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm diện tích lớn nhất của tứ giác
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ . Gọi $AB;CD$ là hai đường kính có vị trí thay đổi. diện tích lớn nhất của tứ giác $ABCD$ theo $R$ là:
- A.
  $R^{2}$
- B.
  $4R^{2}$
- C.
  $3R^{2}$
- D.
  $2R^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = \widehat{DCB} = 90^{0}$ nên ABCD là hình chữ nhật

$S_{ACBD} = 2S_{ABC}$

Kẻ $CH\bot AB$ tại $H$

Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.CH \leq AB.CO = \frac{1}{2}.2R.R = R^{2}$

Suy ra $S_{ACBD} \leq 2R^{2}$ không đổi

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $H \equiv O \Leftrightarrow AB\bot CD$ khi này hình chữ nhật ABCD trở thành hình vuông

Vậy giá trị lớn nhất của tứ giác ABCD là $2R^{2}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác MNE
Cho nửa đường tròn $(O;10cm)$ đường kính $MN$ . Lấy $E$ là một điểm trên đường tròn sao cho $OE$ vuông góc với $MN$ . Tính diện tích tam giác $MNE$ ?
- A.
  $100cm^{2}$
- B.
  $110cm^{2}$
- C.
  $120cm^{2}$
- D.
  $150cm^{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $M;N;E \in (O;10cm)$

$\Rightarrow OM = ON = OE = 10cm$

$\Rightarrow MN = 20cm$

Mà $OE\bot MN$

$\Rightarrow S_{MNE} = \frac{1}{2}MN.OE = \frac{1}{2}.20.10 = 100\left( cm^{2} ight)$
Câu 4: Nhận biết
Tìm kết luận sai
Chọn đáp án sai?
- A.
  Qua ba điểm thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
- B.
  Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
- C.
  Đường tròn là hình có tâm đối xứng.
- D.
  Đường tròn là hình có trục đối xứng.
Hướng dẫn:
Không có đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

Suy ra đáp án sai: “Qua ba điểm thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.”
Câu 5: Vận dụng
Chọn hệ thức đúng
Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ . Qua một điểm $C$ thuộc nửa đường tròn kẻ $CH\bot AB$ . Lấy các điểm $D;E$ thuộc nửa đường tròn sao cho $HC$ là tia phân giác góc $\widehat{DHE}$ . Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $2HC = HD + HE$
- B.
  $HD^{2} = HC.HE$
- C.
  $HC^{2} = HD.HE$
- D.
  $HE^{2} = HC.HD$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi P là điểm đối xứng của D qua AB

Vì HC là phân giác góc $\widehat{DHE}$ nên HA là phân giác ngoài góc $\widehat{DHE}$

$\Rightarrow P;H;E$ thẳng hàng

Ta có: $\widehat{DCH} = \widehat{CEH}$ (Cùng bù với góc $\widehat{PDC}$ ).

Do đó: $\Delta DHC\sim\Delta CEH(g - g)$

$\Rightarrow \frac{DH}{CH} = \frac{CH}{HE} \Rightarrow HC^{2} = HD.HE$
Câu 6: Thông hiểu
Xác định tâm đường tròn
Biết rằng hình thoi $ABCD$ có $AC = BD$ . Hãy xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình thoi $ABCD$ ?
- A.
  Giao điểm hai đường trục trực tam giác $ABC$ .
- B.
  Điểm $B$ .
- C.
  Giao điểm của hai đường chéo.
- D.
  Trung điểm của cạnh $BC$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD$ là hình thoi có hai đường chéo $AC = BD$ nên $ABCD$ là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông).

Gọi O là tâm hình vuông

Theo tính chất của hình vuông ta có:

$OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}$

Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Câu 7: Thông hiểu
Xác định số trục đối xứng
Cho hình vẽ:

Trong hình vẽ có bao nhiêu trục đối xứng?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Vì hình chữ nhật có 2 trục đối xứng nên trong hình vẽ chỉ có 2 trục đối xứng.
Câu 8: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ O đến d
Cho đường tròn $(O;5cm)$ và đường thẳng $(d)$ cắt $(O)$ tại hai điểm phân biệt $A;B$ sao cho $AB = 6cm$ . Khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $(d)$ bằng:
- A.
  $8cm$
- B.
  $12cm$
- C.
  $4cm$
- D.
  $2cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng $(d)$ suy ra $OH\bot AB$ mà tam giác OAB cân tại O

Suy ra OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra $H$ là trung điểm của AB

$\Rightarrow HB = HA = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3(cm)$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OHB vuông tại H ta có:

$OH = \sqrt{OB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4(cm)$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm điều kiện của đường thẳng d
Cho đường tròn $\left( O;\sqrt{7} ight)$ và một điểm $B$ cách tâm đường tròn một khoảng $d$ . Hỏi với giá trị nào của $d$ dưới đây để điểm $B$ nằm bên ngoài đường tròn?
- A.
  $d = 2,8$
- B.
  $d = 2,2$
- C.
  $d = 2,4$
- D.
  $d = 2,6$
Hướng dẫn:
Để điểm B nằm bên ngoài đường tròn thì $d > R$

Mà $R = \sqrt{7} \approx 2,65$ nên giá trị d thỏa mãn yêu cầu đề bài là $d = 2,8$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tính bán kính đường tròn
Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12cm;BC = 5cm$ ?
- A.
  $8cm$
- B.
  $6,5cm$
- C.
  $5,5cm$
- D.
  $10cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật

Vì OA = OB = OC = OD nên bốn điểm A; B; C; D thuộc cùng một đường tròn tâm O bán kính $\frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}$

Ta có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169$

$\Rightarrow AC = \sqrt{169} = 13(cm)$

Vậy bán kính đường tròn cần tìm bằng $\frac{AC}{2} = \frac{13}{2} = 6,5cm$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
- A.
  Không có đường tròn nào đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- B.
  Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
- C.
  Bất kì đường thẳng nào cắt đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.
- D.
  Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác.
Hướng dẫn:
Khẳng định đúng: “Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.”
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Đường tròn là hình có:
- A.
  có vô số trục đối xứng.
- B.
  không có trục đối xứng.
- C.
  hai trục đối xứng.
- D.
  một trục đối xứng.
Hướng dẫn:
Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.
Câu 13: Nhận biết
Xác định vị trí của điểm A
Cho đường tròn $O\left( 0;\sqrt{5} ight)$ và điểm $A$ biết $OA = 2cm$ . Khi đó điểm $A$ có vị trí
- A.
  không nằm trong đường tròn.
- B.
  nằm trong đường tròn.
- C.
  nằm ngoài đường tròn.
- D.
  nằm trên đường tròn.
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có:

Bán kính đường tròn là $R = \sqrt{5} \approx 2,24$ và $OA = 2cm$

$\Rightarrow OA < R$

Vậy điểm A nằm bên trong đường tròn.
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Cho đường tròn $(O;6cm)$ đường kính $BC$ . Lấy $A$ là một điểm thuộc đường tròn. Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AB;AC$ . Tính giá trị biểu thức $BM^{2} + CN^{2}$ ?
- A.
  $36cm$
- B.
  $64cm$
- C.
  $121cm$
- D.
  $81cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có BC là đường kính $(O;6cm)$ và điểm A thuộc đường tròn

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} BC = 2.6 = 12(cm) \\ \widehat{BAC} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 12^{2} = 144$

Mặt khác $BM = \frac{BC}{2};CN = \frac{AC}{2}$

$\Rightarrow BM^{2} + CN^{2} = \left( \frac{AB}{2} ight)^{2} + \left( \frac{AC}{2} ight)^{2}$

$= \frac{AB^{2} + AC^{2}}{4} = \frac{BC^{2}}{4} = \frac{144}{4} = 36$
Câu 15: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh AC
Cho nửa đường tròn $(O;8)$ đường kính $BC$ . Một điểm $A$ thuộc nửa đường tròn sao cho $AB = \frac{\sqrt{3}}{2}BC$ . Tính độ dài cạnh $AC$ ?
- A.
  $9cm$
- B.
  $8cm$
- C.
  $4cm$
- D.
  $6cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì BC là đường kính của $(O;8)$ và A là một điểm thuộc đường tròn

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} BC = 2.8 = 16(cm) \\ \widehat{BAC} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ mà $AB = \frac{\sqrt{3}}{2}BC$

$\Rightarrow AC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.16 = 8(cm)$
Câu 16: Nhận biết
Hoàn thành định nghĩa
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của
- A.
  ba đường trung tuyến.
- B.
  ba đường phân giác.
- C.
  ba đường trung trực.
- D.
  ba đường cao.
Hướng dẫn:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.
Câu 17: Thông hiểu
Tính bán kính đường tròn
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Tính bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, biết rằng $AB = 6;AC = 8$ ?
- A.
  $7cm$
- B.
  $10cm$
- C.
  $14cm$
- D.
  $5cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

$\Rightarrow BC = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10(cm)$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của cạnh huyền.

Bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó là:

$\frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5(cm)$

Vậy đáp án cần tìm là $5cm$ .
Câu 18: Nhận biết
Hoàn thành mệnh đề
Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
- A.
  ngoài tam giác
- B.
  là trung điểm của cạnh huyền.
- C.
  là trung điểm của cạnh nhỏ nhất.
- D.
  trong tam giác
Hướng dẫn:
Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền.
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đường tròn tâm O bán kính 5cm là hình gồm tất cả những điểm có khoảng cách đến O
- A.
  lớn hơn 5cm.
- B.
  bằng 5cm.
- C.
  nhỏ hơn hoặc bằng 5cm.
- D.
  nhỏ hơn 5cm.
Hướng dẫn:
Đường tròn O bán kính 5cm là hình gồm tất cả những điểm có khoảng cách đến O bằng 5cm.
Câu 20: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đường tròn là hình:
- A.
  không có tâm đối xứng.
- B.
  có vô số tâm đối xứng.
- C.
  có một tâm đối xứng.
- D.
  có hai tâm đối xứng.
Hướng dẫn:
Đường tròn là hình có vô số tâm đối xứng.