Luyện tập Góc nội tiếp Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Tứ giác BHCF là hình bình hành (theo câu trước) có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF hay HF = 2 HM.

Khi đó OM là đường trung bình của tam giác AHF nên AH // OM.

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

⇒ AH ⊥ BC mà AH // OM => OM ⊥ BC

Đáp án sai vì OM ⊥ BC mà BC cắt BF nên OM không thể vuông với BF.

Hình vẽ minh họa

Xét có là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm B)

là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm C) nên

Lại có nên

Tương tự ta có

Vậy đáp án cần tìm là:

Trong một đường tròn:

Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

Xét có là góc nội tiếp chắn cung (chứa điểm )

là góc nội tiếp chắn cung BC (chứa điểm A) nên

Lại có (Hai góc kề bù) nên

Từ đó ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BD ⊥ EA mà D là trung điểm EA.

Nên ∆BEA có BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ∆BEA cân tại B.

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau AB = AC)

Xét ∆ABD và ∆AEB có Â chung và (cmt)

Các góc nội tiếp bằng nhau có thể chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau.

Vậy khẳng định sai là: “Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau”.

Hình vẽ minh họa

Xét có là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm B)

là góc nội tiếp chắn cung AD (chứa điểm C) nên

Lại có nên

Tương tự ta có

Suy ra   

Xét có chung và nên

Góc nội tiếp suy ra số đo cung nhỏ AC bằng

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AK ⊥ BE

Mà OD là đường trung bình của tam giác ABE nên OD // BE từ đó OD ⊥ AK

Vậy đáp án sai là:

Hình vẽ minh họa

Vì SM là tiếp tuyến của (O) nên ta có: do đó .

Mặt khác

Lại có

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

mà

=> BHCF là hình bình hành

Hình vẽ minh họa

Tứ giác BHCF là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HF.

Khi đó OM là đường trung bình của tam giác AHF nên .

Hình vẽ minh họa

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Theo giả thiết ta có: đối xứng với nhau qua nên

Xét tam giác có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác cân tại .

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AK ⊥ BE

Mà OD là đường trung bình của tam giác ABE nên OD // BE từ đó BE = OD = 2 R.

Số đo góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 90°

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BD ⊥ EA mà D là trung điểm EA.

Nên ∆BEA có BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ∆BEA cân tại B.

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

Do đó: Số đo cung nhỏ AB bằng

Hình vẽ minh họa

Ta có:

góc ngoài tam giác OAB cân tại O nên

góc ngoài tam giác OAC cân tại O nên

Từ (*) và (**) suy ra

Hay

Vậy số đo cung nhỏ BC là .