Cho đường thẳng và đường tròn
. Biết khoảng cách từ
đến đường thẳng
là
. Khi đó:
Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a là 2,5cm
Suy ra đường thẳng a và đường tròn cắt nhau.
Cho đường thẳng và đường tròn
. Biết khoảng cách từ
đến đường thẳng
là
. Khi đó:
Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a là 2,5cm
Suy ra đường thẳng a và đường tròn cắt nhau.
Cho đường tròn . Một đường thẳng đi qua điểm
nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại
sao cho
. Kẻ đường kính
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác ACD có:
O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC
Nên OB là đường trung bình tam giác
Do đó
Cho đường tròn và dây
. Một tiếp tuyến song song với
cắt các tia
theo thứ tự
và
. Tính độ dài
?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là tiếp tuyến của EF với (O), H là trung điểm của AB. Khi đó ta có:
Vì nên
Cho đường tròn và một điểm
chạy trên đường tròn đó. Kẻ đường thẳng
vuông góc với
. Trên
lấy điểm
sao cho
. Điểm
di động trên đường nào?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:
Suy ra khi A chạy trên đường tròn thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.
Cho đoạn thẳng ,
sao cho
. Gọi
là một tiếp tuyến của đường tròn đường kính
với
là tiếp điểm. Biết
. Độ dài đoạn thẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
Suy ra
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ATO vuông tại T (AT là tiếp tuyến của (O))) ta có:
Cho đường thẳng và đường tròn
. Gọi
là khoảng cách từ
đến
. Điều kiện để đường thẳng
và
có ít nhất một điểm chung là:
Ta có:
Đường thẳng a cắt
Đường thẳng a tiếp xúc với
Khi đó điều kiện để đường thẳng a và có ít nhất một điểm chung là:
Cho đường tròn , hai tiếp tuyến của đường tròn tại
cắt nhau tại
. Biết
. Tính số đo góc
?
Xét tứ giác AMBO có:
Tam giác OAB cân tại O có nên
Cho tam giác có
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
suy ra tam giác ABC vuông tại A
Kẻ đường cao AD ta chứng minh được
Xét có
Vì tại D nên khoảng cách từ A đến BC là
Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn .
Cho đường tròn . Từ điểm
nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến
(với
là các tiếp điểm). Xác định số đo góc
biết rằng
?
Hình vẽ minh họa
Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB
Suy ra tam giác MAB cân tại M
.
Cho hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Vậy khẳng định sai là: “Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.”
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Vì tam giác ABC cân tại A => Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường cao của tam giác đi qua A hay OA vuông góc với BC mà tiếp tuyến của (O) tại A thì cũng phải vuông góc với OA( tính chất tiếp tuyến của đường tròn).
=> Tiếp tuyến tại A của đường tròn sẽ song song với BC.
Cho đường tròn có dây
. Trên tia
lấy điểm
sao cho
. Qua
vẽ đường thẳng
vuông góc với
. Nếu đường thẳng
và đường tròn
chỉ có một điểm chung thì điều kiện của
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:
và
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:
suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:
Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi
Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi
.
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn
. Kẻ tiếp tuyến
với đường tròn (với
là các tiếp điểm. Nếu góc
thì góc
có số đo bằng:
Xét tứ giác có:
Cho điểm cách đường thẳng
là
. Vẽ đường tròn
. Gọi giao điểm của đường thẳng và đường tròn lần lượt là
. Tính diện tích tam giác
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a
Suy ra và H là trung điểm của BC
Do đó
Suy ra diện tích tam giác là:
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC cắt tia AB tại M. Tứ giác AMON là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Xét tứ giác AMNO ta có:
Vì AM; ON cùng vuông góc với OB => AM // ON
Tương tự AN, OM cùng vuông góc với OC => AN // ON
=> AMON là hình bình hành
Xét hai tam giác vuông OBM và OCN ta có:
OB = OC = R
(cùng phụ với góc
)
=>
=> Tứ giác AMON là hình thoi.
Cho đường tròn . Từ điểm
cách tâm
một khoảng bằng
, kẻ các tiếp tuyến
(với
là các tiếp điểm). Xác định số đo góc
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác OAB vuông tại B có:
Cho nửa đường tròn tâm , đường kính
. Điểm
thuộc nửa đường tròn. Qua
kẻ tiếp tuyến
với nửa đường tròn. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
trên
. Diện tích lớn nhất của tứ giác
là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác ABCD là hình thang vuông, MO là đường trung bình của hình thang.
Suy ra diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất là khi
.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(5; 6). Xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 5) với các trục tọa độ?
Ta có:
Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.
Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .
Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..
=> Đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.
Cho đường tròn và đường thẳng
. Gọi
là khoảng cách từ
đến đường thẳng
. Nếu
thì:
Đường tròn và đường thẳng a có một điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
có hai điểm chung
Đường tròn và đường thẳng
không có điểm chung
=> Đường tròn và đường thẳng
có ít nhất một điểm chung