Luyện tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn KNTT

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra

Suy ra

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ATO vuông tại T (AT là tiếp tuyến của (O))) ta có:

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác AMNO ta có:

Vì AM; ON cùng vuông góc với OB => AM // ON

Tương tự AN, OM cùng vuông góc với OC => AN // ON

=> AMON là hình bình hành

Xét hai tam giác vuông OBM và OCN ta có:

OB = OC = R

(cùng phụ với góc )

=>

=> Tứ giác AMON là hình thoi.

Hình vẽ minh họa

Gọi N là trung điểm của AB. Ta có:

và

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống xy ta có:

suy ra ONMH là hình chữ nhật, do đó:

Đường thẳng xy và đường tròn có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy đường thẳng xy và đường tròn chỉ có điểm chung khi .

Vì khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng a là 2,5cm

Suy ra đường thẳng a và đường tròn cắt nhau.

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD là hình thang vuông, MO là đường trung bình của hình thang.

Suy ra diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất là khi .

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD có:

O là trung điểm của CD; B là trung điểm của AC

Nên OB là đường trung bình tam giác

Do đó

Xét tứ giác có:

Hình vẽ minh họa

Gọi G là tiếp tuyến của EF với (O), H là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

Vì nên

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB

Suy ra tam giác MAB cân tại M

.

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy khẳng định sai là: “Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.”

Hình vẽ minh họa

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a

Suy ra và H là trung điểm của BC

Do đó

Suy ra diện tích tam giác là:

Vì tam giác ABC cân tại A => Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường cao của tam giác đi qua A hay OA vuông góc với BC mà tiếp tuyến của (O) tại A thì cũng phải vuông góc với OA( tính chất tiếp tuyến của đường tròn).

=> Tiếp tuyến tại A của đường tròn sẽ song song với BC.

Xét tứ giác AMBO có:

Tam giác OAB cân tại O có nên

Đường tròn và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung (trường hợp đường thẳng cắt đường tròn).

Ta có:

suy ra tam giác ABC vuông tại A

Kẻ đường cao AD ta chứng minh được

Xét có

Vì tại D nên khoảng cách từ A đến BC là

Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn .

Ta có:

Đường thẳng a cắt

Đường thẳng a tiếp xúc với

Khi đó điều kiện để đường thẳng a và có ít nhất một điểm chung là:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác OAB vuông tại B có:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

Suy ra khi A chạy trên đường tròn thì điểm M thuộc đường tròn tâm O bán kính 2R.

Ta có:

Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng 6 > R.

Đường tròn (A; R) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt .

Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng 5 = R..

=> Đường tròn (A; R) tiếp xúc với trục Oy.