Lớp 9 Toán 9 - Kết nối tri thức

Luyện tập Định lí Viète và ứng dụng

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho phương trình x^{2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0(1) với m là tham số. Tổng các giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x_{1};x_{2} thỏa mãn {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10 bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi

    \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + (m + 3) \geq 0

    \Leftrightarrow m^{2} - m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow \left( m - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{15}{4} \geq 0\forall m

    Vậy chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

    Theo hệ thức Vi – et ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) \\ x_{1}.x_{2} = - m - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 10

    \Leftrightarrow 4(m - 1)^{2} + 2(m + 3) = 10

    \Leftrightarrow 4m^{2} - 6m + 10 = 10

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 0 \\m = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra m = 0;m = \frac{3}{2} là các giá trị cần tìm.

    Vậy tổng tất cả giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng: \frac{3}{2}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} + (5 - 2a)x + 4a - 14 = 0 với a là tham số. Hệ thức nào dưới đây không phụ thuộc vào tham số a?

    Hướng dẫn:

    Áp dụng hệ thức Viète ta có:

    \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2a - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 4a - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 4

    Vậy hệ thức không phụ thuộc tham số là: 2\left( x_{1} + x_{2} ight) - x_{1}.x_{2} = 4.

  • Câu 3: Nhận biết
    Tìm nghiệm còn lại của phương trình

    Cho phương trình x^{2} - 7x - 260 = 0 có hai nghiệm. Biết một nghiệm của phương trình bằng 13. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Theo định lí Viète ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - \dfrac{c}{a} = - 7 \\x_{1} = 13 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x_{2} = - 7 - 13 = - 20

    Vậy nghiệm còn lại của phương trình là: - 20.

  • Câu 4: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) có hai nghiệm x_{1};x_{2}. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Theo hệ thức Viète ta có:

    Nếu x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình ax^{2} + bx + c = 0;(a eq 0) thì \left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} ight..

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình x^{2} - 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} ight.

    B = {x_1}^2{x_2} + {x_1}{x_2}^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} ight) = 3.5 = 15

    Vậy đáp án cần tìm là: 15

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Một trong các nghiệm của phương trình 2020x^{2} - x - 2021 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    a - b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a} = \frac{2021}{2020}

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm điều kiện tham số m

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y = 2x^{2} và đường thẳng (d):y = - 2mx + m + 1. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x_{1};x_{2} sao cho \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 2.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

    2x^{2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow 2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0(*)

    Ta có: \Delta' = m^{2} - 2( - m - 1) = m^{2} + 2m + 2 = (m + 1)^{2} + 1 \geq 0\forall m nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

    Suy ra (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A;B

    Ta thấy: 2\left( \frac{1}{2} ight)^{2} + 2m.\left( \frac{1}{2} ight) - m - 1 eq 0\forall m nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}}

    = \left( \frac{1}{2x_{1} - 1} + \frac{1}{2x_{2} - 1} ight)^{2} - \frac{2}{\left( 2x_{1} - 1 ight)\left( 2x_{1} + 1 ight)}

    = 4\left\lbrack \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{4x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1} ightbrack - \frac{2}{4x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 1}(**)

    Theo hệ thức Vi – ét ta có:\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m \\x_{1}x_{2} = - \dfrac{m + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Thay vào (**) ta được:

    \frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 ight)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 ight)^{2}} = 4\left\lbrack \frac{- m - 1}{- 2(m + 1) + 2m + 1} ightbrack = 4(m + 1)^{2} + 2

    Yêu cầu bài toán tương đương với

    4(m + 1)^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 1

    Vậy m = - 1 là giá trị cần tìm

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn phương trình thỏa mãn yêu cầu

    Trong các phương trình sau, phương trình nào không có nghiệm nào bằng 1?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} - 5x + 4 = 0 ta có: a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 nên phương trình có nghiệm là

    x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4

    5x^{2} + 9x - 14 = 0 ta có: a + b + c = 5 + 9 - 14 = 0 nên phương trình có nghiệm là

    x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 14}{5}

    5x^{2} - 7x + 2 = 0 ta có: a + b + c = 5 - 7 + 2 = 0 nên phương trình có nghiệm là

    x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{5}

    x^{2} - 7x + 10 = 0

    Vì 2 + 5 = 7 = - \frac{b}{a};2.5 = 10 = \frac{c}{a} nên x_{1} = 2;x_{2} = 5 là hai nghiệm của phương trình.

    Vậy phương trình không có nghiệm nào bằng 1 là: x^{2} - 7x + 10 = 0

  • Câu 9: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Hai số m và n biết m + n = 5;m.n = 6 là:

    Hướng dẫn:

    Hai số m và n là nghiệm của phương trình X^{2} - 5X + 6 = 0

    \Leftrightarrow (X - 3)(X - 2) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 3 \\ X = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m = 2;n = 3 hoặc m = 3;n = 2

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn phương trình thích hợp

    Cho hai số a;b thỏa mãn điều kiện a + b = - 5;a.b = - 24. Khi đó a;b là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = - 5

    Tích hai nghiệm là: P = - 24

    Nên cặp số a và b là nghiệm của phương trình x^{2} + 5x - 24 = 0.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm tham số m

    Cho phương trình x^{2} + mx + m - 1 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình hai nghiệm lớn hơn m?

    Hướng dẫn:

    Nhận thấy a - b + c = 1 - m + m - 1 = 0

    Suy ra phương trình có hai nghiệm là: x = - 1;x = \frac{- c}{a} = 1 - m

    Phương trình có hai nghiệm lớn hơn m khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} - 1 > m \\ 1 - m > m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < - 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m < - 1

    Vậy đáp án cần tìm là: m < - 1

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xác định nghiệm của phương trình

    Cho tam giác vuông có tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng 14. Biết rằng tích của chúng bằng 48. Khi đó độ dài cạnh huyền tam giác vuông đó bằng:

    Hướng dẫn:

    Tam giác vuông có tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng 14 và tích của chúng bằng 48 nên độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là nghiệm của phương trình bậc hai:

    x^{2} - 14x + 48 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 6 \\ x = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là: \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm điều kiện tham số m

    Cho phương trình x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} - 4m + 3 = 0 với m là tham số. Tìm điều kiện tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu?

    Hướng dẫn:

    Phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

    P < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3

    Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < 0 (khi phương trình có hai nghiệm trái dấu không cần điều kiện \Delta > 0,(\Delta' > 0) do khi P < 0 thì hiển nhiên \Delta > 0,(\Delta' > 0)

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Có bao nhiêu cặp số (x;y) thỏa mãn x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} = 20 và xy = 8

    Ta có: (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 20 + 2.8 = 36

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 6 \\ x + y = - 6 \\ \end{matrix} ight.

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = 6^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} - 6X + 8 = 0

    \Delta' = ( - 3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{1} = 4;X_{2} = \frac{3 - \sqrt{1}}{1} = 2

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ \end{matrix} ight. (*)

    Với \left\{ \begin{matrix} x + y = - 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: S^{2} - 4P = ( - 6)^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0 nên x;y là hai nghiệm của phương trình X^{2} + 6X + 8 = 0

    \Delta' = (3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

    X_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{1} = - 2;X_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{1} = - 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight. hoặc \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} ight.(**)

    Từ (*) và (**) suy ra (x;y) \in \left\{ (4;2),(2;4),( - 2; - 4),( - 4; - 2) ight\}

    Vậy có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 15: Nhận biết
    Xác định nghiệm của phương trình

    Biết rằng phương trình (m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0 với m là tham số luôn có nghiệm x_{1};x_{2} với \forall m eq 2. Khi đó các nghiệm x_{1};x_{2} của phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Với \forall m eq 2 phương trình (m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0 có \left\{ \begin{matrix} a = m - 2 \\ b = - 2m - 5 \\ c = m + 7 \\ \end{matrix} ight..

    Vì a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{m + 7}{m - 2}

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho phương trình x^{2} - (2m - 3)x + m^{2} - 3m = 0 với m là tham số. Xác định các giá trị tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x_{1};x_{2} thỏa mãn 1 < x_{1} < x_{2} < 6?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình x^{2} - (2m - 3)x + m^{2} - 3m = 0 có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 1 eq 0 \\ \Delta = (2m - 3)^{2} - 4\left( m^{2} - 3m ight) = 9 > 0\forall m \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình luôn có hai nghiệm x_{1};x_{2} phân biệt.

    Áp dụng định lí Viète ta có: \left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 2m - 3 \\ P = x_{1}.x_{2} = m^{2} - 3m \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có: 1 < x_{1} < x_{2} < 6

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} - 1 ight)\left( x_{2} - 1 ight) > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 1 \\ \left( x_{1} - 6 ight)\left( x_{2} - 6 ight) > 0 \\ x_{1} + x_{2} < 12 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1}.x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} ight) + 1 > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 1 \\ x_{1}.x_{2} - 6\left( x_{1} + x_{2} ight) + 36 > 0 \\ x_{1} + x_{2} < 12 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 3m - 2m + 3 + 1 > 0 \\ 2m - 3 > 1 \\ m^{2} - 3m - 6(2m - 3) + 36 > 0 \\ 2m - 3 < 12 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 5m + 4 > 0 \\ 2m > 4 \\ m^{2} - 15m + 54 > 0 \\ 2m < 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 6 \\ m > 9 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m < \frac{15}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 4 < m < 6

    Vậy đáp án cần tìm là: 4 < m < 6.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Lập phương trình bậc hai có các nghiệm \sqrt{3} + \sqrt{2} và \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x_{1} + x_{2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3}

    x_{1}.x_{2} = \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} ight).\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = 1

    Phương trình cần tìm là: x^{2} + 2\sqrt{3}x + 1 = 0.

  • Câu 18: Nhận biết
    Tính tổng các nghiệm phương trình

    Cho phương trình - 3x^{2} + 5x + 1 = 0. Không giải phương trình, tổng tất cả các nghiệm bằng:

    Hướng dẫn:

    Phương trình - 3x^{2} + 5x + 1 = 0 có \Delta = 5^{2} - 4.1.( - 3) = 37 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2}.

    Theo hệ thức Viète ta có: x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{- 3} = \frac{5}{3}.

  • Câu 19: Nhận biết
    Chọn phương trình thích hợp

    Cho hai số u;v thỏa mãn điều kiện u + v = 5;u.v = 6. Khi đó u;v là hai nghiệm của phương trình:

    Hướng dẫn:

    Vì tổng hai nghiệm là: S = 5

    Tích hai nghiệm là: P = 6

    Nên cặp số u và v là nghiệm của phương trình x^{2} - 5x + 6 = 0.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của a

    Cho phương trình f(x) = ax^{2} + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số nguyên và a > 0, có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;1). Giá trị nhỏ nhất của a là

    Hướng dẫn:

    Gọi x_{1},x_{2} \in (0;1) là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho

    \Rightarrow f(x) = a\left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight).

    Vì a,b,c là các số nguyên và a > 0

    \Rightarrow f(0) = c = ax_{1}x_{2},f(1) = a + b + c = a\left( 1 - x_{1} ight)\left( 1 - x_{2} ight) là các số nguyên dương.

    Áp dụng BĐT Cauchy tacó: x_{1}\left( 1 - x_{1} ight) \leq \frac{1}{4};x_{2}\left( 1 - x_{2} ight) \leq \frac{1}{4} \Rightarrow x_{1}x_{2}\left( 1 - x_{1} ight)\left( 1 - x_{2} ight) < \frac{1}{16} (2)

    (Vì do x_{1} eq x_{2} nên không có đẳng thức).

    Từ (1) và (2) \Rightarrow \frac{a^{2}}{16} > 1 \Rightarrow a^{2} > 16 \Rightarrow a \geq 5 (a là số nguyên dương).

    Xét đa thức f(x) = 5x(x - 1) + 1, ta thấy f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán.

    Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (40%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (10%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 19 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9 KNTT

Đăng nhập