Cho hai số thỏa mãn điều kiện
. Khi đó
là hai nghiệm của phương trình:
Vì tổng hai nghiệm là:
Tích hai nghiệm là:
Nên cặp số và
là nghiệm của phương trình
.
Cho hai số thỏa mãn điều kiện
. Khi đó
là hai nghiệm của phương trình:
Vì tổng hai nghiệm là:
Tích hai nghiệm là:
Nên cặp số và
là nghiệm của phương trình
.
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm và
?
Ta có:
Phương trình cần tìm là: .
Cho phương trình , trong đó a, b, c là các số nguyên và
, có hai nghiệm phân biệt trong khoảng
. Giá trị nhỏ nhất của a là
Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho
.
Vì là các số nguyên và
là các số nguyên dương.
Áp dụng BĐT Cauchy tacó: (2)
(Vì do nên không có đẳng thức).
Từ (1) và (2) (a là số nguyên dương).
Xét đa thức , ta thấy
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.
Cho tam giác vuông có tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng . Biết rằng tích của chúng bằng
. Khi đó độ dài cạnh huyền tam giác vuông đó bằng:
Tam giác vuông có tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng 14 và tích của chúng bằng 48 nên độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là nghiệm của phương trình bậc hai:
Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là: .
Trong các phương trình sau, phương trình nào không có nghiệm nào bằng ?
Ta có:
ta có:
nên phương trình có nghiệm là
ta có:
nên phương trình có nghiệm là
ta có:
nên phương trình có nghiệm là
Vì nên
là hai nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình không có nghiệm nào bằng 1 là:
Cho phương trình có hai nghiệm
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Theo hệ thức Viète ta có:
Nếu là nghiệm của phương trình
thì
.
Cho phương trình với
là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình hai nghiệm lớn hơn
?
Nhận thấy
Suy ra phương trình có hai nghiệm là:
Phương trình có hai nghiệm lớn hơn m khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là:
Biết rằng phương trình với
là tham số luôn có nghiệm
với
. Khi đó các nghiệm
của phương trình là:
Với phương trình
có
.
Vì nên phương trình có hai nghiệm
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol
và đường thẳng
. Tìm
để đường thẳng
cắt
tại 2 điểm phân biệt
sao cho
.
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Ta có: nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Suy ra và
luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Ta thấy: nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác
Ta có:
Theo hệ thức Vi – ét ta có:
Thay vào (**) ta được:
Yêu cầu bài toán tương đương với
Vậy là giá trị cần tìm
Hai số và
biết
là:
Hai số và
là nghiệm của phương trình
Vậy hoặc
Có bao nhiêu cặp số thỏa mãn
và
?
Ta có:
và
Ta có:
Với
Ta có: nên
là hai nghiệm của phương trình
. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Vậy hoặc
(*)
Với
Ta có: nên
là hai nghiệm của phương trình
. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Vậy hoặc
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Vậy có 4 cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho phương trình có hai nghiệm. Biết một nghiệm của phương trình bằng
. Hỏi nghiệm còn lại của phương trình bằng bao nhiêu?
Theo định lí Viète ta có:
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là: .
Cho phương trình với
là tham số. Xác định các giá trị tham số
để phương trình đã cho có hai nghiệm
thỏa mãn
?
Xét phương trình có:
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lí Viète ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho phương trình với
là tham số. Tổng các giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm
thỏa mãn
bằng bao nhiêu?
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
Vậy chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Vi – et ta có:
Ta có:
Suy ra là các giá trị cần tìm.
Vậy tổng tất cả giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng:
Cho phương trình . Không giải phương trình, tổng tất cả các nghiệm bằng:
Phương trình có
nên phương trình có hai nghiệm
.
Theo hệ thức Viète ta có: .
Gọi là nghiệm của phương trình
với
là tham số. Hệ thức nào dưới đây không phụ thuộc vào tham số
?
Áp dụng hệ thức Viète ta có:
Vậy hệ thức không phụ thuộc tham số là: .
Một trong các nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Cho phương trình với
là tham số. Tìm điều kiện tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu?
Phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.
Phương trình có hai nghiệm trái dấu (khi phương trình có hai nghiệm trái dấu không cần điều kiện
do khi
thì hiển nhiên
Gọi là nghiệm của phương trình
. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức
?
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Vi – et ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: 15
Cho hai số thỏa mãn điều kiện
. Khi đó
là hai nghiệm của phương trình:
Vì tổng hai nghiệm là:
Tích hai nghiệm là:
Nên cặp số và
là nghiệm của phương trình
.