Luyện tập Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Hình là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại H

⇒ IH ⊥ BC

Vì ABC là tam giác đều nên I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ IH là trung trực BC ⇒ H là trung điểm BC

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của

Xét tam giác IHB ta có

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác cân tại có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên đường thẳng . Lại có (Tính chất tiếp tuyến) nên .

Vì nên (2 góc ở vị trí so le trong).

giả thiết

(đối đinh)

Thì .

Xét tứ giác có

( chứng minh trên)

( chứng minh trên)

Suy ra là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) nên số đo cung AC = 90^ο

Vì BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp (O) nên số đo cung BC = 120^ο

Từ đó suy ra số đo cung AB là:

Vì là góc nội tiếp chắn cung AB nên

Hình vẽ minh họa

Gọi tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn

Khi đó O là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi AH là đường trung tuyến

Theo định lý Pytago ta có

Từ đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Vì đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều cạnh 18cm có bán kính đường tròn nội tiếp là

Diện tích phần đất trồng hoa là

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

Hình vẽ minh họa

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau thì hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng .
Xét vuông tại có

Xét vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Mà nên từ (1) và (2) ta có .

Suy ra . Hay cung là cung lớn nhất.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm .

Tam giác vuông tại có là tiếp tuyến ,

Suy ra: Đường tròn là đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Ta có là đường trung bình của hình thang nên .

Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn .

Vậy đường tòn ngoại tiếp tam giác luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định.

Hình vẽ minh họa

Xét có  (góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn) và .

Mà

Nên

Mà

Do đó .

Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác vuông nên ,

lại có mà là phân giác Nên .

Có tam giác cân tại nên

Nên

Suy ra .

Ta có là trung trực của

Theo Pytago ta có

Lại có (hai tam giác vuông có vì cùng phụ với )

(cm)

Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (đúng)

Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm (đúng)

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác.

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của BC. Xét tam giác BEC vuông tại E có (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác BDC vuông tại D có (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính .

Ta có:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực tam giác đó.

Số đo góc ở tâm bằng 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa

Gọi là tiếp điểm của đường tròn với

vuông tại , theo định lý Pytago ta có

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

Do đó

Gọi , ta có:

Ta có là hình vuông, có:

Mà là trung điểm của nên:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều ABC.

Do đó

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC

AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên

Diện tích tam giác ABC là: