Giao ba đường trung trực của tam giác là:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Cho 
có , trung tuyến , đường cao . Vẽ đường tròn ngoại tiếp .
Kết luận nào sai khi nói về các cung của đường tròn ngoại tiếp ?
Hình vẽ minh họa
Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau thì hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng .
Xét vuông tại
có
Xét vuông tại
có
là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
Mà nên từ (1) và (2) ta có
.
Suy ra . Hay cung
là cung lớn nhất.
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 15 cm. Tính diện tích tam giác ABC?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều ABC.
Do đó
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC
AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên
Diện tích tam giác ABC là:
Trong các hình dưới đây ở hình nào ta có đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC?
Hình 
là đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC có các đường cao BD; CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của BC. Xét tam giác BEC vuông tại E có (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tam giác BDC vuông tại D có (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Từ đó ta có nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính
.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là:
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Chọn câu đúng. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Cho tam giác nhọn nội tiếp . Các tiếp tuyến tại của cắt nhau tại . Biết . Tính .
Hình vẽ minh họa
Xét có
(góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn) và
.
Mà
Nên
Mà
Do đó .
Mỗi một tam giác có bao nhiêu đường tròn bàng tiếp?
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác đều. Tỉ số là:
Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC tại H
⇒ IH ⊥ BC
Vì ABC là tam giác đều nên I cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ IH là trung trực BC ⇒ H là trung điểm BC
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác nên BI là phân giác của
Xét tam giác IHB ta có
Một mảnh vườn có dạng tam giác đều ABC cạnh 18 cm. Người ta muốn trồng hoa ở phần đất bên trong đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính diện tích phần đất trồng hoa đó.?
Hình vẽ minh họa
Vì đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều cạnh 18cm có bán kính đường tròn nội tiếp là
Diện tích phần đất trồng hoa là
Cho tam giác cân tại . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, là tâm đường tròn bàng tiếp góc và là trung điểm của . Tính bán kính đường tròn tâm đi qua bốn điểm biết .
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác vuông nên
,
lại có mà
là phân giác
Nên
.
Có tam giác cân tại
nên
Nên
Suy ra .
Ta có là trung trực của
Theo Pytago ta có
Lại có (hai tam giác vuông có
vì cùng phụ với
)
(cm)
Cho (O; 4) có dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn đó (điểm C và A nằm cùng phía với BO). Tính số đo góc ACB?
Hình vẽ minh họa
Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) nên số đo cung AC = 90ο
Vì BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp (O) nên số đo cung BC = 120ο
Từ đó suy ra số đo cung AB là:
Vì là góc nội tiếp chắn cung AB nên
Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều có cạnh bằng 60 m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa 50 m, hỏi rằng có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không? Có||Không
Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều có cạnh bằng 60 m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa 50 m, hỏi rằng có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không? Có||Không
Hình vẽ minh họa
Để vị trí của bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng thì bộ phát sóng wifi đặt ở tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác khu vui chơi đó Xét khu vui chơi hình tam giác đều là tam giác ABC có cạnh 60m.
Xét đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác ABC đó. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường trung trực, vừa là đường trung tuyến của tam giác.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là
Vì nên bộ phát sóng đó đặt ở tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì cả khu vui chơi đều có thể bắt sóng được.
Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm cạnh , tiếp tuyến của đường tròn tâm tại cắt tia tại . Tứ giác là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác cân tại
có
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên đường thẳng
. Lại có
(Tính chất tiếp tuyến) nên
.
Vì nên
(2 góc ở vị trí so le trong).
giả thiết
(đối đinh)
Thì .
Xét tứ giác có
( chứng minh trên)
( chứng minh trên)
Suy ra là hình bình hành.
Cho ∆ABC vuông tại A, có . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm của tam giác. Tính độ dài IG.
Hình vẽ minh họa
Gọi là tiếp điểm của đường tròn
với
vuông tại
, theo định lý Pytago ta có
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
Do đó
Gọi , ta có:
Ta có là hình vuông, có:
Mà là trung điểm của
nên:
Cho đường tròn đường kính . Vẽ các tia tiếp tuyến với nửa đường tròn. Lấy điểm di động trên tia , điểm di động trên tia sao cho . Chọn câu đúng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm
.
Tam giác vuông tại
có
là tiếp tuyến
,
Suy ra: Đường tròn là đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Ta có là đường trung bình của hình thang
nên
.
Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn
.
Vậy đường tòn ngoại tiếp tam giác
luôn tiếp xúc với đường thẳng
cố định.
Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp theo ?
Hình vẽ minh họa
Gọi tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp đường tròn
Khi đó O là trọng tâm tam giác ABC.
Gọi AH là đường trung tuyến
Theo định lý Pytago ta có
Từ đó ta có:
Chọn câu sai:
Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây cung (đúng)
Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta luôn xác định được một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điểm tiếp xúc nằm trên đường nối tâm (đúng)
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác.
Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O). Cho các khẳng định sau:
(i) Số đo góc BAC bằng một nửa số đo góc BOC.
(ii) O luôn là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
(iii) Để xác định O, ta lấy giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
Ta có:
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực tam giác đó.
Số đo góc ở tâm bằng 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.
Vậy có 2 khẳng định đúng.
