Luyện tập Hình bình hành

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của cạnh AB, ta có (1) (so le trong).

Mặt khác, DM là phân giác góc D nên (2)

Từ (1), (2) suy ra

Do đó tam giác ADM cân tại A.

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác DAC có PQ là đường trung bình

Xét tam giác BAC có MN là đường trung bình

Từ (1) và (2) suy ra

Tứ giác là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Tam giác KBC có KO = OC, BM = MC nên OM là đường trung bình của ∆KBC.

Suy ra OM // KB, .

Ta lại có OM // AH (cùng vuông góc với BC).

Suy ra KB // AH.

Chứng minh tương tự ta có: KA // BH.

Tứ giác AHBK có KB // AH, KA // BH nên là hình bình hành.

Ta có: AHBK là hình bình hành nên KB = AH

Ta lại có:

Trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Trong các hình: hình bình hành, hình chữ nhật đều có các cạnh đối song song và bằng nhau

Hình thang cân chỉ có 1 cặp cạnh đối song song nên không thỏa mãn.

Trong hình bình hành các cạnh đối bằng nhau mà hình bình hành ABCD có AB = 2cm nên

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy tam giác BCE cân tại C suy ra

Ta lại có

Mà nên

Suy ra AC // ED (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra AECD là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Ta có: 

Từ (*) và (**) suy ra BDCE là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Trong hình bình hành ABCD, và .

Tam giác ADE cân và có một góc bằng , nên tam giác ADE đều.

Theo trên, tâm giác ADE đều nên , suy ra tam giác AEC cân tại E.

Trong hình bình hành ABCD có là hai góc đối nhau mà các góc đối của hình bình hành thì bằng nhau do đó mà suy ra .

Hình vẽ minh họa:

Qua C vẽ đường thẳng song song với BD, cắt DE ở K.

Ta có BDKC là hình bình hành nên B, I, K thẳng hàng.

=> ∆GDB = ∆GEK (c – g - c) nên GB = GK

Suy ra ∆GBK cân tại G có

Hình vẽ minh họa:

Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG // AI; BG = AI

IB // AG ⇒ IB ⊥ BC mà HF⊥ BC, do đó IB // HF.

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC

Trong ∆AIC có: HE là đường trung bình, do đó

Vậy

Trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm do đó bằng mà suy ra

Vậy .

Hình vẽ minh họa:

Vẽ F sao cho K là trung điểm của DF thì AF // DE, AF = DE.

Tam giác DEC có nên DE = DC, suy ra AF = DC.

∆BAF = ∆BCD (c – g - c) nên BF = BD, .

Ta lại có , do đó ∆DBF đều