Ôn tập chương 2 Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Câu 1: Thông hiểu

Tìm x biết

Giá trị nào của biến x thỏa mãn biểu thức $(x + 2)^{2} - 2x(2x + 3) = (x + 1)^{2}$ ?

A.
$x = - \frac{3}{2}$
B.
$x = - \frac{1}{2}$
C.
$x = \frac{5}{2}$
D.
$x = \frac{- 1}{4}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$(x + 2)^{2} - 2x(2x + 3) = (x + 1)^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - (x + 1)^{2} - 2x(2x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2 + x + 1)(x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (2x + 3)(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2x + 3 = 0 \\1 - 2x = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{2} \\x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Câu 2: Thông hiểu

Biến đổi hằng đẳng thức

Chọn câu đúng:

A. ${\left( {x + y} ight)^3} - 3xy\left( {x + y} ight) = {x^3} + {y^3}$
B. ${\left( {x - 1} ight)^3} - {\left( {x + 1} ight)^3} = 6\left( {x + 1} ight)\left( {x - 1} ight)$
C. $- 27{y^3} - 9{y^2} - y - \frac{1}{{27}} = {\left( { - 3y + \frac{1}{3}} ight)^3}$
D. $- 8{x^3} + 12{x^2}y - 6x{y^2} + {y^3} = {\left( {2x - y} ight)^3}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {x - 1} ight)^3} - {\left( {x + 1} ight)^3} \hfill \\ = \left( {x - 1 - x - 1} ight)\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \left( {x - 1} ight)\left( {x + 1} ight) + {{\left( {x + 1} ight)}^2}} ight] \hfill \\ = - 2\left( {{x^2} - 2x + 1 + {x^2} - 1 + {x^2} + 2x + 1} ight) \hfill \\ = - 2\left( {3{x^2} + 1} ight) \hfill \\ - 8{x^3} + 12{x^2}y - 6x{y^2} + {y^3} \hfill \\ = {\left( {y - 2x} ight)^3} \hfill \\ - 27{y^3} - 9{y^2} - y - \dfrac{1}{{27}} = - {\left( {3y + \dfrac{1}{3}} ight)^3} \hfill \\ {\left( {x + y} ight)^3} - 3xy\left( {x + y} ight) \hfill \\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} \hfill \\ = {x^3} + {y^3} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 3: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Cho đa thức $D =x^{3} - 7x - 6$ . Phân tích đa thức H thành nhân tử ta được:

A.
$D = (x + 1)(x - 3)(x -2)$
B.
$D = (x - 1)(x + 3)(x -2)$
C.
$D = (x + 1)(x - 3)(x +2)$
D.
$D = (x - 1)(x - 3)(x +2)$

Hướng dẫn:

Ta có:

$D = x^{3} - 7x - 6$

$D = x^{3} + 1 - 7x - 7$

$D = (x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)- 7(x + 1)$

$D = (x + 1)\left( x^{2} - x + 1 - 7ight)$

$D = (x + 1)\left( x^{2} - x - 6ight)$

$D = (x + 1)\left( x^{2} + 2x - 3x - 6ight)$

$D = (x + 1)\left\lbrack x(x + 2) - 3(x +2) ight\lbrack$

$D = (x + 1)(x - 3)(x + 2)$

Câu 4: Thông hiểu

Tính giá trị biểu thức

Giá trị của biểu thức: $A = \left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {1 + x + {x^2}} ight)\left( {4 + 2x + {x^2}} ight)$ với $x = 1$ là:

A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$

Hướng dẫn:

Thực hiện phép tính

$\begin{matrix} A = \left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {1 + x + {x^2}} ight)\left( {4 + 2x + {x^2}} ight) \hfill \\ A = \left( {x - 1} ight)\left( {1 + x + {x^2}} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} + 2x + 4} ight) \hfill \\ A = \left( {{x^3} - {1^3}} ight)\left( {{x^3} - {2^3}} ight) \hfill \\ A = \left( {{x^3} - 1} ight)\left( {{x^3} - 8} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Thay giá trị $x=1$ vào biểu thức

$\Rightarrow A = \left( {{1^3} - 1} ight)\left( {{1^3} - 8} ight) = 0.\left( { - 7} ight) = 0$

Câu 5: Nhận biết

Phân tích đa thức thành nhân tử

Chọn câu trả lời đúng nhất:

$x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2=$

A. $z(x^2y^2+xy^2z+x^2yz)$
B. $xyz(xy+yz+xz)$
C. $x(xy^2z+y^2z^2+xyz^2)$
D. $y(x^2yz+xyz^2+x^2z^2)$

Hướng dẫn:

Ta có:

${x^2}{y^2}z + x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2} = xyz\left( {xy + yz + xz} ight)$

Câu 6: Nhận biết

Chọn câu trả lời đúng nhất

Kết quả phân tích đa thức $9{x^2} - 12x + 4$ thành nhân tử là:

A. ${\left( {3x - 4} ight)^2}$
B. ${\left( { - 3x - 2} ight)^2}$
C. ${\left( {3x + 2} ight)^2}$
D. ${\left( {3x - 2} ight)^2}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix} 9{x^2} - 12x + 4 \hfill \\ = {\left( {3x} ight)^2} - 2.3x.2 + {2^2} \hfill \\ = {\left( {3x - 2} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 7: Thông hiểu

Tìm x

Giá trị của x thoả mãn (x + 4)² – (x + 1)(x - 1) = 16 là:

A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{{ - 1}}{8}$
C. $-8$
D. $8$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {x + 4} ight)^2} - \left( {x + 1} ight)\left( {x - 1} ight) = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 - \left( {{x^2} - 1} ight) = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 - {x^2} + 1 = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow 8x = - 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{8} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 8: Vận dụng cao

Tính giá trị biểu thức

Biết $x = 100$ . Tính giá trị biểu thức:

$T = 99.x^{100} + 99.x^{99} + 99.x^{98} + ... + 99x^{2} + 99x + 99$

A.
$T = 101^{100} + 1$
B.
$T = 101^{100} - 1$
C.
$T = 100^{101} + 1$
D.
$T = 100^{101} - 1$

Hướng dẫn:

$x^{101} - 1 = (x - 1)\left( x^{100} + x^{99} + ... + x^{2} + x + 1 ight)$

$\Rightarrow T = 99.\left( x^{100} + x^{99} + ... + x^{2} + x + 1 ight) = 99.\frac{x^{101} - 1}{x - 1}$

Thay $x = 100$ vào biểu thức D ta được: $T = 100^{101} - 1$

Câu 9: Nhận biết

Biến đổi hằng đẳng thức

Tính ${\left( {5x - y} ight)^2}$ ta được:

A. $25{x^2} + 10xy + {y^2}$
B. $25{x^2} - 10xy + {y^2}$
C. ${x^2} - 10xy + 25{y^2}$
D. ${x^2} + 10xy + 25{y^2}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix} {\left( {5x - y} ight)^2} \hfill \\ = {\left( {5x} ight)^2} - 2.5x.y + {y^2} \hfill \\ = 25{x^2} - 10xy + {y^2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 10: Vận dụng

Xác định các giá trị của n

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để biểu thức $B = 5n^{3} - 9n^{2} + 15n - 27$ là số nguyên tố?

A.
$n = 1$
B.
$n = 2$
C.
$n = 3$
D.
$n = 0$

Hướng dẫn:

Ta có:

$B = 5n^{3} - 9n^{2} + 15n -27$

$B = \left( 5n^{3} + 15n ight) - \left(27 + 9n^{2} ight)$

$B = 5n\left( n^{2} + 3 ight) - 9\left(3 + n^{2} ight)$

$B = (5n - 9)\left( n^{2} + 3ight)$

Dễ thấy $n^{2} + 3 > 1$ để B là số nguyên tố thì $5n - 9 = 1$ hay $n = 2$

Vậy để B là số nguyên tố thì $n =2$ .

Câu 11: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức P

Cho $x-y=2$ . Tính giá trị biểu thức $P = 2\left( {{x^3} - {y^3}} ight) - 3{\left( {x + y} ight)^2}$ .

A. $P=12$
B. $P=8$
C. $P=16$
D. $P=4$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix} P = 2\left( {{x^3} - {y^3}} ight) - 3{\left( {x + y} ight)^2} \hfill \\ P = 2\left( {x - y} ight)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} ight) - 3\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} ight) \hfill \\ P = 2\left( {x - y} ight)\left[ {{{\left( {x - y} ight)}^2} + 3xy} ight] - 3\left[ {{{\left( {x - y} ight)}^2} + 4xy} ight] \hfill \\ P = 2.2.\left( {{2^2} + 3xy} ight) - 3\left( {{2^2} + 4xy} ight) \hfill \\ P = 16 + 12xy - 12 - 12xy = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 12: Vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giá trị lớn nhất của biểu thức $- {x^2} - 4{y^2} + 2x - 12y - 10$ là:

A. $10$
B. $0$
C. $1$
D. $-10$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix} - {x^2} - 4{y^2} + 2x - 12y - 10 \hfill \\ = - \left( {{x^2} + 4{y^2} - 2x + 12y + 10} ight) \hfill \\ = - \left[ {{x^2} - 2x + 1 + {{\left( {2y} ight)}^2} + 2.2y.3 + 9} ight] \hfill \\ = - \left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {2y + 3} ight)}^2}} ight] \hfill \\ = - {\left( {x - 1} ight)^2} - {\left( {2y + 3} ight)^2} \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $\left\{ \begin{gathered} {\left( {x - 1} ight)^2} \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {2y + 3} ight)^2} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} - {\left( {x - 1} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ - {\left( {2y + 3} ight)^2} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$