Luyện tập Hình thoi và hình vuông

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo

Đặt

Ta có:

Từ bất đẳng thức

Do đó

Giá trị lớn nhất của tích hai đường chéo là 8 khi

Hay

Vậy là hình vuông thì tích hai đường chéo lớn nhất.

Hình vẽ minh họa

Ta có: (hai tia phân giác của hai góc kề bù)

=> thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta được thẳng hàng

Ta có:

(một nửa của hai góc bằng nhau)

Chứng minh tương tự ta được

Tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.

Hình vẽ minh họa

Gọi là giao điểm của và

⇒ là hình chữ nhật

Gọi là tâm hình chữ nhật

Xét tam giác vuông tại nên

Tam giác vuông tại

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Gọi trung điểm cạnh CD là N

Ta có và nên tứ giác AMCN là hình bình hành

Mặt khác tại K

Xét tam giác HCD có và nên

Xét tam giác HAD có KA vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác HAD cân

Mặt khác nên => Tam giác ABH cân

Xét tứ giác ABHD có:

Mặt khác

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình vuông => Tam giác ABC vuông cân tại B

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông cân tại B ta có:

Hình vẽ minh họa

ABCD là hình thoi => Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mối đường

Hay . Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAB vuông tại O ta có:

Hình vẽ minh họa

Vẽ ME ⊥ CD, NF ⊥ AD.

Gọi O là giao điểm của ME và NF.

Ta có: mà nên

Dễ thấy tứ giác AMOF là hình vuông.

Xét ∆EMP và ∆FNQ có:

(hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Ta có:

Các tam giác bằng nhau nên suy ra

Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi. Mà hình thoi có hai đường chéo bằng nhau nên MNPQ là hình vuông.

Hình vẽ minh họa

Gọi là chân đường cao kẻ từ đến cạnh và từ giả thiết ta có:

Ta có: => là đường trung trực của nên

Áp dụng định nghĩa hình thoi nên tam giác là tam giác đều do đó

Vì góc và góc là hai góc trong cùng phía của nên chúng bù nhau hay

Hình vẽ minh họa

Các tứ giác là hình bình hành nên

Suy ra

Do đó:

Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.

Vậy hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Trong các hình thoi, hình bình hành, hình chữ nhật đều có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường trừ hình thang cân không có nên “Hình chữ nhật và hình bình hành, hình thoi.” ĐÚNG.