Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Luyện tập Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp phần 3

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Công thức đúng của tổ hợp là:

    Hướng dẫn:

     Công thức đúng của tổ hợp là:  C^k_n=\frac{n!}{k!\left( n-k ight)!}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho C_{n}^{n-3}=1140. Tính giá trị biểu thức: T=\frac{A_{n}^{6}+A_{n}^{5}}{A_{n}^{4}}

    Hướng dẫn:

     Ta có: 

    \begin{matrix} C_n^{n - 3} = 1140 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} ight)!\left( {n - n + 3} ight)!}} = 1140 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)\left( {n - 3} ight)!}}{{\left( {n - 3} ight)!3!}} = 1140 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} = 1140 \hfill \\ \Rightarrow \left( {{n^2} - n} ight)\left( {n - 2} ight) = 6840 \hfill \\ \Rightarrow {n^3} - 2{n^2} - {n^2} + 2n = 6840 \hfill \\ \Rightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n - 6840 = 0 \hfill \\ \Rightarrow n = 20 \hfill \\ \end{matrix}

    Thay n = 20 vào T ta được: 

    T=\frac{A^6_{20}+A^5_{20}}{A^4_{20}}=256

  • Câu 3: Nhận biết
    Giải phương trình

    Nghiệm của phương trình: {{P}_{x}}=120

    Hướng dẫn:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} {P_x} = 120 \hfill \\ \Rightarrow x! = 120 \hfill \\ \Rightarrow x = 5 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm số nguyên dương n thỏa mãn phương trình

    Tìm các số nguyên dương n sao cho: A^2_n-A^1_n-8=0

    Hướng dẫn:

    Điều kiện n \geqslant 2, n \in \mathbb{N}

    Ta có: 

    \begin{matrix} A_n^2 - A_n^1 + 8 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} ight)!}} - \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} ight)!}} = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} ight) - n = 8 \hfill \\ \Rightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm số tự nhiên n

    Tìm n biết: C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{3}^{n-3}}+....+nC_{n}^{n}=256

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    {\left( {3 + x} ight)^n} = C_n^0{3^n}.{x^0} + C_n^1{.3^{n - 1}}{x^1} + C_n^2{.3^{n - 2}}{x^2} + .... + C_n^n{x^n}(*)

    Đạo hàm hai vế của biểu thức (*) ta được:

    \Rightarrow \left[ {{{\left( {3 + x} ight)}^n}} ight]' = C_n^1{.3^{n - 1}} + 2.C_n^2{.3^{n - 2}}{x^2} + .... + nC_n^n{x^{n - 1}}

    \Rightarrow {\left( {3 + x} ight)^{n - 1}} = C_n^1{.3^{n - 1}} + 2.C_n^2{.3^{n - 2}}{x^2} + .... + nC_n^n{x^{n - 1}}

    Chọn x = 1 ta có:

    \begin{matrix} \Rightarrow n{.4^{n - 1}} = C_n^1{.3^{n - 1}} + 2.C_n^2{.3^{n - 2}}{1^2} + .... + nC_n^n{1^{n - 1}} \hfill \\ \Rightarrow n{.4^{n - 1}} = 256 \hfill \\ \Rightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy n = 4

  • Câu 6: Vận dụng
    Giải phương trình

    Nghiệm của phương trình: 3C_{n+1}^{2}+n{{P}_{2}}=4A_{n}^{2}

    Gợi ý:

    Các kiến thức cần nhớ:

    \left\{ \begin{gathered} C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} ight)!}} \hfill \\ A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} ight)!}} \hfill \\ {P_n} = n! \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {k,n \in \mathbb{N},n \geqslant k} ight)

    Hướng dẫn:

     Giải phương trình ta có:

    \begin{matrix} 3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{{\left( {n + 1} ight)!}}{{2!\left( {n - 1} ight)!}} + n.2! = 4.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}n\left( {n + 1} ight) + 2n = 4n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow n = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy n = 3

  • Câu 7: Vận dụng
    Từ dãy số có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn

    Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có chẵn, mỗi số có 5 chữ số trong đó có đúng hai số lẻ, 2 số lẻ đó đứng cạnh nhau.

    Hướng dẫn:

    Gọi số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là m

    Số cách chọn được m là: A_3^2

    Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa M và ba trong bốn chữ số 0; 2; 4; 6

    Gọi \overline {abcd} ;\left( {a,b,c,d \in \left\{ {m,0;2;4;6} ight\}} ight) là số thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Trường hợp 1:  Nếu a = m ta có:

    Số cách chọn a là 1 cách

    Số cách chọn b, c, d là A_4^3 cách

    Trướng hợp 2: Nếu a khác m thì ta có:

    Số cách chọn a là 3 cách

    Nếu b = m thì có 1 cách chọn b và A_3^2 cách chọn c, d

    Nếu c = m thì có 1 cách chọn c và A_3^2 cach chọn b, d

    => Số các số được tạo thành là: A_3^2.\left[ {A_4^3 + 3\left( {1.A_3^2 + 1.A_3^2} ight)} ight] = 360

  • Câu 8: Thông hiểu
    Từ dãy số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số

    Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

    Hướng dẫn:

    Gọi số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: \overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)

    Số cách chọn a là 6 cách

    Số cách chọn b là 5 cách

    Số cách chọn c là 4 cách

    => Số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành là: 6 . 5 . 4 = 120 số

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm số các số tự nhiên 7 chữ số thỏa mãn điều kiện

    Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số còn lại có mặt nhiều nhất 1 lần.

    Hướng dẫn:

    Số tự nhiên có 7 chữ số có dạng: \overline {abcdefg}

    Xét trường hợp có chữ số 0 đứng đầu

    Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: C_7^2

    Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là: C_5^3

    Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp các số đã cho để xếp vào hai vị trí cuối là A_8^2

    => Số các số được tạo thành là:  C_7^2.C_5^3.A_8^2 = 11760

    Xét trường hợp không có chữ số 0 đứng đầu

    Ta có:

    Vì a = 0 => a có 1 cách chọn

    Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: C_6^2

    Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là: C_4^3

    Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp dãy số đã cho là 7 cách

    => Số các số được tạo thành là: C_2^6.C_4^3.7 = 420

    Vậy số các số được lập thành thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 11760 - 420 = 11340 số

  • Câu 10: Vận dụng
    Số cách chọn số học sinh dự thi

    Đội học sinh giỏi toán 10 có tất cả 18 học sinh, trong đó có 7 học sinh giỏi môn Toán, 6 học sinh giỏi môn Văn và 5 học sinh giỏi môn Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh đi dự thi chính thức, biết rằng mỗi môn có ít nhất 1 học sinh.

    Hướng dẫn:

    Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là phần bù của cách chọn 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.

    Số cách chọn 8 học sinh từ hai khối là: C_{13}^8 + C_{11}^8 + C_{12}^8 = 1947

    Số cách chọn 8 học sinh bất kì là: C_{18}^8

    Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C_{18}^8 -1947=41811

  • Câu 11: Thông hiểu
    Số các số có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện được tạo thành là

    Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.

    Gợi ý:

    Nếu một số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì số đó chia hết cho 5

    Hướng dẫn:

    Gọi số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: \overline {abcdef}

    Do số tự nhiên tạo thành có các chữ số đôi một khác nhau => a e b e c e d e e e f

    Khi đó:

    Số cách chọn f là 1 cách

    Số cách chọn a là 6 cách

    Số cách chọn b là 5 cách

    Số cách chọn c là 4 cách

    Số cách chọn d là 3 cách

    Số cách chọn e là 2 cách

    => Số các số tạo thành thỏa mãn điều kiện đề bài là:

    6.5.4.3.2.1 = 720 số

  • Câu 12: Vận dụng
    Số cách chọn ban cán sự lớp

    Một lớp có 20 học sinh nữ, 26 học sinh nam. Giáo viên cần chọn ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết trong ban cán sự có ít nhất một nữ.

    Hướng dẫn:

    Số học sinh của lớp là: 20 + 26 = 46 (học sinh)

    Số cách chọn 3 học sinh làm cán bộ lớp là: C_{46}^3

    Số cách chọn 3 học sinh làm cán bộ lớp trong đó không có bạn nữ là: C_{26}^3

    Số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất một bạn nữ là:

     C_{46}^3 -C_{26}^3 =12580 cách chọn

  • Câu 13: Nhận biết
    Số cách chọn ban cán sự lớp

    Trong lớp có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp?

    Hướng dẫn:

    Số học sinh của lớp là 20 + 15 = 35 (học sinh)

    Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp là: C_{35}^3 = 6545 (cách chọn)

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm n

    Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Trên d có 10 điểm phân biệt, trên d’ có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Tìm n biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên.

    Hướng dẫn:

    Trướng hợp 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d và hai đỉnh còn lại thuộc d'

    => Số tam giác tạo thành là: C_{10}^1.C_n^2 (tam giác)

    Trướng hợp 2: Tam giác có hai đỉnh thuộc d và một đỉnh thuộc d'

    => Số tam giác tạo thành là: C_{10}^2.C_{n}^1 (tam giác)

    Theo bài ra ta có: 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho nên ta có phương trình:

    \begin{matrix} C_{10}^1.C_n^2 + C_{10}^2.C_n^1 = 2800 \hfill \\ \Leftrightarrow 10.\dfrac{{n\left( {n - 1} ight)}}{2} + 45n = 2800 \hfill \\ \Leftrightarrow 5{n^2} + 40n - 2800 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 20\left( {tm} ight)} \\ {n = - 28\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy n = 20

  • Câu 15: Vận dụng
    Có bao nhiêu cách xếp n người vào một bàn tròn

    Có bao nhiêu cách xếp n người vào một bàn tròn n chỗ?

    Hướng dẫn:

    Chọn một người vào một ví trí cố định làm trung tâm

    Còn lại n - 1 người xếp vào n - 1 chỗ ngồi còn lại

    => Có (n - 1)! cách sắp xếp

    Vậy có tất cả (n - 1)! cách sắp xếp n người vào một bàn tròn n chỗ

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (27%):
    2/3
  • Vận dụng (47%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 1.176 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11

Đăng nhập