Lớp 11 Toán 11

Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn của hàm số

Định lí:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1

Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u\left( x \right) = 0 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}} = 1

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại x \in \mathbb{R} và \left( {\sin x} \right)' = \cos x

Nếu \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \sin u} \\ {u = u\left( x \right)} \end{array}} \right. thì \left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u

Mở rộng công thức đạo hàm hàm sinx

{\left( {\sin ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}.\sin \left( {ax + n.\frac{\pi }{2}} \right)

\left[ {\arcsin \left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \sin \left( {\frac{\pi }{6} - 3x} \right)

b) y = \sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\begin{matrix} y' = \left[ {\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right)} \right]\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right)'.\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right) \hfill \\ \Rightarrow y' = - 3.\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b) Ta có:

\begin{matrix} y' = \left[ {\sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)'.\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {2x - 3} \right).\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 21031,21033

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại x \in \mathbb{R} và \left( {\cos x} \right)' = - \sin x

Nếu  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \cos u} \\ {u = u\left( x \right)} \end{array}} \right. thì \left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u

Mở rộng công thức đạo hàm hàm cosx

{\left( {\cos ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}.\cos \left( {ax + n.\frac{\pi }{2}} \right)

\left[ {\arccos \left( x \right)} \right]' = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:

a) y = 2sin2x + cos2x

b) y = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)

c) y = cos34x

Hướng dẫn giải

a) y’ = (2sin2x + cos2x)’ = 4cos2x – 2sin2x

a) Ta có:

\begin{matrix} y' = \left[ {\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right)} \right]\prime \hfill \\ = - \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right)'.\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right) \hfill \\ = - \left( { - 3} \right).\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right) \hfill \\ = 3\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right) \hfill \\ \end{matrix}

c) Ta có: y = cos34x

=> y’ = (cos34x)’

=> y’ = 3cos24x . (cos4x)’

=> y’ = 3cos24x . (4x)’.(-sin4x)

=> y’ = -12.sin4x.cos24x

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại \forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} và \left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}

Nếu\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \tan u} \\ {u = u\left( x \right)} \end{array}} \right.  thì \left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}\left( u \right)}}

Mở rộng công thức đạo hàm hàm tanx

\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}} = {\sec ^2}\left( x \right)

\left[ {\arctan \left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại \forall x \ne k\pi và \left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}

Nếu \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \cot u} \\ {u = u\left( x \right)} \end{array}} \right. thì \left( {\cot u} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}\left( u \right)}}

Mở rộng công thức đạo hàm hàm cotx

\left( {\cot x} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\left( x \right)}} = - {\csc ^2}\left( x \right)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = tan3x + cot2x

Hướng dẫn giải

Ta có: y = tan3x + cot2x

=> y’ = (tan3x + cot2x)’

=> y’ = 3 tan2x . \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 2.- \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}

Câu trắc nghiệm mã số: 21029,21030
  • 434 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11