Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Luyện tập Nhị thức Newton phần 1

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm số hạng trong khai triển

    Tìm số hạng chứa x^7 trong khai triển {\left( {x - \frac{1}{x}} ight)^{13}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {x - \dfrac{1}{x}} ight)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k.{x^{13 - k}}.{{\left( {\dfrac{1}{x}} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k.{{\left( { - 1} ight)}^k}.{x^{13 - 2k}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hệ số của x^7 ứng với 13-2k=7=>k=3

    => Số hạng cần tìm là - C_{13}^3{x^7}

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển

    Trong khai triển (2a – b)5, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {2a - b} ight)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k.{{\left( {2a} ight)}^{5 - k}}.{b^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{.2}^{5 - k}}{a^{5 - k}}.{b^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta đang xét số hạng thứ 3 => k = 2

    => Hệ số của số hạng thứ 3 bằng: C_5^2{.2^3} = 80

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm n

    Trong khai triển nhị thức (a + 2)n + 6 (n ∈ N). Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

    Gợi ý:

     Khai triển nhị thức Newton {\left( {a + b} ight)^n} có n + 1 số hạng

    Hướng dẫn:

    Trong khai triển nhị thức (a + 2)n + 6 (n ∈ N). Có tất cả 17 số hạng

    => n + 6 = 16

    => n = 10

    Vậy n = 10

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm hệ số của số hạng chính giữa của khai triển

    Trong khai triển (3x2 – y)10, hệ số của số hạng chính giữa là:

    Gợi ý:

     Khai triển nhị thức Newton {\left( {a + b} ight)^n} có n + 1 số hạng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {3{x^2} - y} ight)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( {3{x^2}} ight)}^{10 - k}}.{{\left( { - y} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.3}^{10 - k}}{x^2}^{\left( {10 - k} ight)}.{{\left( { - 1} ight)}^k}.{y^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.3}^{10 - k}}{x^{20 - 2k}}.{{\left( { - 1} ight)}^k}.{y^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong khai triển có 11 số hạng

    Số hạng chính giữa ứng với k = 5

    => Hệ số của số hạng chính giữa là: C_{10}^5{.3^5}.{\left( { - 1} ight)^5} = - 61236

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

    Trong khai triển (2x – 5y)8, hệ số của số hạng chứa x5.y3 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {\left( {2x - 5y} ight)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( {2x} ight)}^{8 - k}}.{{\left( { - 5y} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{.2}^{8 - k}}.{x^{8 - k}}.{{\left( { - 5} ight)}^k}.{y^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Số hạng chứa x5.y3 => k = 3

    => Hệ số của số hạng chứa x5.y3 là: C_8^3{.2^5}.{\left( { - 5} ight)^3} = - 224000

  • Câu 6: Nhận biết
    Tìm số hạng trong khai triển

    Tìm số hạng chứa x^3 trong khai triển {\left( {x + \frac{1}{{2x}}} ight)^9}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {x + \dfrac{1}{{2x}}} ight)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k.{x^{9 - k}}.{{\left( {\dfrac{1}{{2x}}} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^k}} .{x^{9 - 2k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hệ số của x^3 ứng với 9-2k=3=>k=3

    => Số hạng cần tìm là \frac{1}{8}C_9^3.{x^3}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển

    Trong khai triển {\left( {{a^2} + \frac{1}{b}} ight)^7}, số hạng thứ 5 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {{a^2} + \dfrac{1}{b}} ight)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.{{\left( {{a^2}} ight)}^{7 - k}}.{{\left( {\dfrac{1}{b}} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.{a^{14 - 2k}}.\dfrac{{{1^k}}}{{{b^k}}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Số hạng ta xét là số hạng thứ 5 => k = 4

    => {T_5} = C_7^4.{a^6}.\frac{{{1^4}}}{{{b^4}}} = 35.{a^6}.{b^{ - 4}}

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính tổng ba số hạng đầu của khai triển

    Trong khai triển (2a – 1)6. Tính tổng ba số hạng đầu của khai triển.

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Khai triển truyền thống:

    {\left( {2a - 1} ight)^6} = C_6^0{.2^6}.{a^6} - C_6^1{.2^5}.{a^5} + C_6^2{.2^4}.{a^4} - ...

    Cách 2: Sử dụng khai triển tổng quát:

    {\left( {2a - 1} ight)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k.{{\left( {2a} ight)}^{6 - k}}.{{\left( { - 1} ight)}^k}}

    k = 0 => C_6^0.{\left( {2a} ight)^6}.{\left( { - 1} ight)^0} =64 {\left( {a} ight)^6}

    k = 1 => C_6^1.{\left( {2a} ight)^5}.{\left( { - 1} ight)^1} = - 192{a^5}

    k = 2 => C_6^2.{\left( {2a} ight)^4}.{\left( { - 1} ight)^2} = 240{a^4}

    => Tổng ba số hạng đầu của khai triển là:  64.a6 – 192.a5+ 240a4

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

    Tìm số hạng không chứa x trong khai triển {\left( {x{y^2} - \frac{1}{{xy}}} ight)^8}

    Hướng dẫn:

    Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

    \begin{matrix} {\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} ight)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( {x{y^2}} ight)}^{8 - k}}.{{\left( { - \dfrac{1}{{xy}}} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( { - 1} ight)}^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với 8-2k=0=>k=4

    => Số hạng cần tìm là: C_8^4.{y^4} = 70{y^4}

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

    Tìm hệ số của x^7 trong khai triển {\left( {3{x^2} - \frac{2}{x}} ight)^n} với x e 0, biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.

    Hướng dẫn:

    Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

    \begin{matrix} {\left( {3{x^2} - \dfrac{2}{x}} ight)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{{\left( {3{x^2}} ight)}^{n - k}}.{{\left( { - \dfrac{2}{x}} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.3}^{n - k}}.{{\left( { - 2} ight)}^k}.{x^{2x - 3k}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Số hạng thứ ba ứng với k=2 kết hợp với giả thiết ta có:

    \begin{matrix} C_n^2{.3^{n - 2}}.{\left( { - 2} ight)^2} = 1080 \hfill \\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} ight){.3^n} = {4.5.3^n} \hfill \\ \Leftrightarrow n = 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Hệ số của x^7 ứng với 2n-3k=7

    =>10-3k=7

    => k=1

    => Hệ số cần tìm là: C_5^1{.3^4}.{\left( { - 2} ight)^1} = - 810

  • Câu 11: Vận dụng
    Tìm số tự nhiên n

    Tìm số tự nhiên n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển {\left( {x - \frac{1}{3}} ight)^n} bằng 4.

    Hướng dẫn:

    Theo khai triển nhị thức Newton ta có:

    \begin{matrix} {\left( {x - \dfrac{1}{3}} ight)^n} = C_n^0.{x^n} + C_n^1.\left( { - \dfrac{1}{3}} ight).{x^{n - 1}} \hfill \\ + C_n^2.{\left( { - \dfrac{1}{3}} ight)^2}.{x^{n - 2}} + ... + C_n^n.{\left( { - \dfrac{1}{3}} ight)^n} \hfill \\ \end{matrix}

    => Số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là: C_n^2.{\left( { - \frac{1}{3}} ight)^2}.{x^{n - 2}}

    Yêu cầu bài toán ta có:

    \begin{matrix} C_n^2.{\left( { - \dfrac{1}{3}} ight)^2} = 4 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}}.\dfrac{1}{9} = 4 \hfill \\ \Rightarrow n = 9 \hfill \\ \end{matrix}

    Do n \in \mathbb{N} nên n=9

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm hệ số trong khai triển

    Trong khai triển (2x – 1)10, hệ số của số hạng chứa x8 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {2x - 1} ight)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( {2x} ight)}^{10 - k}}.{{\left( { - 1} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.2}^{10 - k}}.{x^{10 - k}}.{{\left( { - 1} ight)}^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Số hạng chứa x8 => 10 - k = 8 => k = 2

    => Hệ số của số hạng chứa x8 là: C_{10}^2{.2^8}.{\left( { - 1} ight)^2} = 11520

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm hệ số của số hạng cho trước trong khai triển

    Trong khai triển (a – 2b)8, hệ số của số hạng chứa a4.b4 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {a - 2b} ight)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( a ight)}^{8 - k}}.{{\left( { - 2b} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k.{{\left( a ight)}^{8 - k}}.{{\left( { - 2} ight)}^k}.{b^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do số hạng chứa a4.b4 => k = 4

    => Hệ số của số hạng chứa a4.b4 là: C_8^4.{\left( { - 2} ight)^4} = 1120

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm hệ số của số hạng cho trước trong khai triển

    Trong khai triển (3x – y )7, số hạng chứa x4y3 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {\left( {3x - y} ight)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.{{\left( {3x} ight)}^{7 - k}}.{{\left( { - y} ight)}^k}} \hfill \\ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{.3}^{7 - k}}.{x^{7 - k}}.{{\left( { - 1} ight)}^k}.{y^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do số hạng chứa x4y3 => k = 3

    => Số hạng chứa x4y3 là: C_7^3{.3^4}.{x^4}.{\left( { - 1} ight)^3}.{y^3} = - 2835{x^4}.{y^3}

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm số hạng thứ tư trong khai triển

    Trong khai triển (0,2 + 0,8)5, số hạng thứ tư là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: {\left( {0,2 + 0,8} ight)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k.{{\left( {0,2} ight)}^{5 - k}}.{{\left( {0,8} ight)}^k}}

    Số hạng thứ 4 trong khai triển ứng với k = 3

    => Số hạng thứ tư là: {T_4} = C_5^3.{\left( {0,2} ight)^2}.{\left( {0,8} ight)^3} = 0,2048

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (67%):
    2/3
  • Vận dụng (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 638 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11

Đăng nhập