Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

A. Hoán vị

1. Giai thừa

Định nghĩa

Cho số tự nhiên n \geqslant 1, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu bởi n! là:

n! = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)....3.2.1

Tính chất

Giai thừa có các tính chất sau đây:

\begin{matrix} n! = n\left( {n - 1} \right)! = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)! = ... \hfill \\ 1! = 1 \hfill \\ 0! = 1 \hfill \\ \end{matrix}

2. Hoán vị

Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử n \geqslant 1. Ta nói mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử tập hợp A là một hoán vị của n phần tử này.

Số các hoán vị của n phần tử tập hợp A được kí hiệu bởi P_n.

Chú ý

Các hoán vị khác nhau chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp các phần tử. Hoán vị của 3 phần tử a, b, c gồm: a,b,c;a,c,b;b,c,a;...

Định lí

Số các hoán vị của n phần tử được tính theo công thức:

{P_n} = n! = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)....3.2.1

3. Các dạng hoán vị

a) Hoán vị vòng quanh

Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần của X trên một đường tròn gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử của tập X.

Các cách sắp xếp các phần tử của X trên một đường tròn mà sai khác nhau một phép quay được coi là cùng một hoán vị vòng quanh.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính bởi công thức:

{Q_n} = \left( {n - 1} \right)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người ngồi xung quanh một bàn tròn?

Hướng dẫn giải

Sắp xếp theo nguyên tắc hoán vị vòng quanh ta có: 9! = 362 880 cách sắp xếp.

b) Hoán vị lặp

Cho n phần tử, trong đó có n_1 phần tửx_1, n_2 phần tử phần tử x_k.

Với {n_1} + {n_2} + ... + {n_k} = n

Mỗi cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí gọi là một hoán vị lặp của n phần tử đã cho.

Số tất cả các hoán vị lặp của n phần tử ở trên là: 

P\left( {{n_1},{n_2},...{n_k}} \right) = \frac{{n!}}{{{n_1}!{n_2}!....{n_k}!}}

Ví dụ: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, trong đó chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng một lần.

Hướng dẫn giải

Xếp các chữ số 1, 1, 1, 2, 3, 4 thành một hàng có: \frac{{6!}}{{3!}} = 120 (cách)

(Do đổi chỗ 3 chữ số 1 thì hàng không thay đổi)

Vậy có 120 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu trắc nghiệm mã số: 22140,22141

B. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử \left( {n \geqslant 1} \right). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Định lí

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right) là:

A_n^k = n\left( {n - 1} \right)....\left( {n - k + 1} \right)

Chú ý

  • Với quy ước 0! = 1 ta có: A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}},\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)
  • Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy {P_n} = A_n^n
  • Khi giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có hai dấu hiệu sau:

+ Chỉ chọn k phần tử của X, \left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right).

+ Có sắp thứ tự các phần tử đã chọn.

Ví dụ: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải

Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.

Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9.

Vậy số các số đó là A_9^5 = 9.8.7.6.5 = 15120

Câu trắc nghiệm mã số: 22145,22143

C. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử \left( {n \geqslant 1} \right) và số nguyên k với 1 \leqslant k \leqslant n. Mỗi tập con có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (hay một tổ hợp chập k của A). Kí hiệu là: C_n^k

Định lí

Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử \left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right) là: 

C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}

Với quy ước C_1^0 = 1 thì với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 \leqslant k \leqslant n ta có:

C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}

Ví dụ: Trong một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 học sinh đi dự Đại hội Đoàn trường sao cho trong 3 học sinh đó có ít nhất một cán bộ lớp.

Hướng dẫn giải

Số cách cử ra 3 học sinh tùy ý là C_{20}^3 (cách)

Số cách cử ra 3 học sinh trong đó không có ai là cán bộ lớp là C_{18}^3 (cách)

=> Số cách cử 3 học sinh trong đó có ít nhất một cán bộ lớp là C_{20}^3 - C_{18}^3 = 324 cách.

Tính chất

\begin{matrix} C_n^k = C_n^{n - k};\left( {0 \leqslant k \leqslant n} \right) \hfill \\ C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k;\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình C_n^2C_n^{n - 2} + 2C_n^2C_n^3 + C_n^3C_n^{n - 3} = 100

Hướng dẫn giải

Điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {n \geqslant 3} \\ {n \in \mathbb{Z}} \end{array}} \right.

Từ tính chất C_n^k = C_n^{n - k} suy ra: \left\{ \begin{gathered} C_n^{n - 2} = C_n^2 \hfill \\ C_n^{n - 3} = C_n^3 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Phương trình tương đương

\begin{matrix} C_n^2C_n^{n - 2} + 2C_n^2C_n^3 + C_n^3C_n^{n - 3} = 100 \hfill \\ \Leftrightarrow C_n^2C_n^2 + 2C_n^2C_n^3 + C_n^3C_n^3 = 100 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2} \right)^2} + 2C_n^2C_n^3 + {\left( {C_n^3} \right)^2} = 100 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2 + C_n^3} \right)^2} = 100 \hfill \\ \Leftrightarrow C_n^2 + C_n^3 = 10 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 4 \hfill \\ \end{matrix}

Vậy n = 4.

Câu trắc nghiệm mã số: 22146,22147
  • 4.282 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11