Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Hàm số lượng giác

A. Định nghĩa

1. Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực \sin x

\begin{matrix} \sin x:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ {\text{ }}x \mapsto y = \sin x \hfill \\ \end{matrix}

Được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y= \sin x. Tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R}.

2. Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực \cos x

\begin{matrix} \cos x:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ {\text{ }}x \mapsto y = \cos x \hfill \\ \end{matrix}

Được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là y= \cos x. Tập xác định của hàm số là D=\mathbb{R}.

3. Hàm số tan

Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\left( {\cos x \ne 0} \right), kí hiệu là y= \tan x.

Tập xác định của hàm số y= \tan x là D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}

4. Hàm số cotan

Hàm số cotan là hàm số được xác định bởi công thức y = \frac{{\cos x}}{{\sin x}};\left( {\sin x \ne 0} \right), kí hiệu là y= \cot x.

Tập xác định của hàm số y= \cot x là D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}

B. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Định nghĩa

Hàm số y=f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoán, nếu tồn tại một số T \ne 0 sao cho với mọi x \in D ta có:

  • x - T \in D và x + T \in D
  • f(x+T)=f(x)

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Người ta chứng minh được rằng:

  • Hàm số y= \sin x tuần hoàn với chu kì T = 2\pi
  • Hàm số y= \cos x tuần hoàn với chu kì T = 2\pi
  • Hàm số y= \tan x tuần hoàn với chu kì T = \pi
  • Hàm số y= \cot x tuần hoàn với chu kì T = \pi

Chú ý

  • Hàm số y = \sin \left( {ax + b} \right) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}
  • Hàm số y = \cos \left( {ax + b} \right) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}
  • Hàm số y = \tan \left( {ax + b} \right) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}
  • Hàm số y = \cot \left( {ax + b} \right) tuần hoàn với chu kì T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}

Đặc biệt

a) Hàm số y = a\sin mx + b\cos nx + c,\left( {m,n \in \mathbb{Z}} \right) là hàm số tuần hoàn với chu kì T = \frac{{2\pi }}{{\left( {m,n} \right)}} với (m, n) là ước chung lớn nhất.

b) Hàm số y = a\tan mx + b\cot nx + c,\left( {m,n \in \mathbb{Z}} \right) là hàm số tuần hoàn với chu kì T = \frac{\pi }{{\left( {m,n} \right)}} với (m, n) là ước chung lớn nhất.

C. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

1. Hàm số sin

  • Tập xác định D=\mathbb{R} có nghĩa hàm số xác định với mọi x \in \mathbb{R}
  • Tập giá trị T \in \left[ { - 1;1} \right] có nghĩa là - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2\pi, có nghĩa là \sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right) và đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)
  • Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

Hàm số lượng giác

2. Hàm số côsin

  • Tập xác định D=\mathbb{R} có nghĩa hàm số xác định với mọi x \in \mathbb{R}
  • Tập giá trị T \in \left[ { - 1;1} \right] có nghĩa là - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2\pi, có nghĩa là \cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
  • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right) và đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)
  • Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng.

Hàm số lượng giác

3. Hàm số tan

  • Tập xác định D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}
  • Tập giá trị T = \mathbb{R} 
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì \pi, có nghĩa là \tan \left( {x + k\pi } \right) = \tan x,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)
  • Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

Hàm số lượng giác

4. Hàm số cotan

  • Tập xác định D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}
  • Tập giá trị T = \mathbb{R}
  • Là hàm số tuần hoàn với chu kì \pi, có nghĩa là \cot \left( {x + k\pi } \right) = \cot x,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
  • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \left( { k\pi ;\pi + k\pi } \right)
  • Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

Hàm số lượng giác

Câu trắc nghiệm mã số: 9333,9331,9332,9329,9330,9327
  • 3.758 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11