Lớp 11 Toán 11

Đạo hàm cấp hai

1. Đạo hàm cấp hai

Định nghĩa: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x \in \left( {a;b} \right). Khi đó hệ thức y' = f'\left( x \right) xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm số y' = f'\left( x \right) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đó là đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) và kí hiệu là y'' hoặc f'' (x).

Các bước tính đạo hàm cấp hai như sau:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một y’.

Bước 2: Tính đạo hàm của đạo hàm cấp một ta được đạo hàm cấp hai.

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = \frac{x}{{x - 2}}

b) y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}

Hướng dẫn giải

a) Ta có: y = \frac{x}{{x - 2}}

\begin{matrix} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right)' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{x - 2}}} \right)' = 2.\dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

b) Ta có: y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}

\begin{matrix} \Rightarrow y' = \left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = \left[ {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 20963,20965

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2

  • Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình s=s\left( t \right) thì vận tốc tại thời điểm t_{0} của chất điểm đó là v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)
  • Nếu {{t}_{0}} nhận một số gia \Delta t thì v\left( {{t}_{0}} \right)nhận một số gia \Delta v=v\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-v\left( {{t}_{0}} \right) . Khi \left| \Delta t \right| càng nhỏ (khác 0) thì \Delta v càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm {{t}_{0}}.
  • Trong cơ học, giới hạn hữu hạn của tỉ số \frac{\Delta v}{\Delta t} khi \Delta t dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm {{t}_{0}} của chất điểm đó, và kí hiệu là a\left( {{t}_{0}} \right). Vậy:

a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}

Ví dụ: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = t3 – 3t2 – 9t. Trong đó, t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s.

Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

v(t) = s’(t) = 3t2 – 6t – 9

Suy ra vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:

a(t) = v’(t) = (3t2 – 6t – 9)2 = 6t – 6

Khi đó gia tốc của chuyển động khi t = 3s là:

a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s)

Vậy gia tốc của chuyển động khi t = 3s là 12m/s.

Câu trắc nghiệm mã số: 20966

3. Đạo hàm cấp cao

  • Đạo hàm cấp 3 của hàm số y=f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y''' hoặc f'''(x) hoặc {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right).
  • Hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu là {f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right), \left( {n \in \mathbb{N};n \geqslant 4} \right). Nếu{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu là {y^{\left( n \right)}} hoặc {f^{\left( n \right)}}\left( x \right).

{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]'

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số f\left( x \right) = {\left( {2x + 5} \right)^5}

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\begin{matrix} f\left( x \right) = {\left( {2x + 5} \right)^5} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 10{\left( {2x + 5} \right)^4} \hfill \\ \Rightarrow f''\left( x \right) = 80{\left( {2x + 5} \right)^3} \hfill \\ \Rightarrow {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 480{\left( {2x + 5} \right)^2} \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 20969

4. Công thức đạo hàm cấp cao

  • {{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}
  • {{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0
  • {{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)
  • {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}{{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}
  • {{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)
  • {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}

5. Công thức Lepnit

Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: {{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix} n \\ k=0 \\ \end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}} với C_{n}^{k} kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử

C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}

  • 865 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11