Lớp 11 Toán 11

Vi phân

1. Vi phân là gì?

Vi phân là dạng công thức liên quan đến công thức đạo hàm, tích phân, là một nhánh con của vi tích phân liên quan đến nghiên cứu sự thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi.

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và \Delta x là số gia của x. Ta gọi tíc của f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x là vi phân của hàm số f(x) tại điểm {x_0} ứng với số gia \Delta x, kí hiệu là y = df\left( x \right) hay dy tức là:

dy = df\left( x \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x

  • Vi phân là một giá trị vô cùng nhỏ. Thường được kí hiệu: dx, dy, dt, …
    • dx là sự thay đổi giá trị rất ít của biến x.
    • dy là sự thay đổi rất ít của biến y.
  • Khi so sánh 2 đại lượng có giá trị vô cùng nhỏ có mối quan hệ với nhau, như y là một hàm  nào đó của biến x, ta nói vi phân dy, với y=f\left( x \right) được viết là: dy=f'\left( x \right)dx.

Chú ý: Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y=x ta có: dx = dx = x'\Delta x = \Delta x.

Ví dụ: Tính vi phân của hàm số y = {\left( {x - 1} \right)^2}.

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\begin{matrix} y' = 2\left( {x - 1} \right) \hfill \\ \Rightarrow dy = y'dx = 2\left( {x - 1} \right)dx \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Tính vi phân của hàm số f\left( x \right) = 3{x^2} - x tại x=2 ứng với \Delta x=0,1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} f'\left( x \right) = 6x - 1 \hfill \\ \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 11 \hfill \\ \Rightarrow df\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\Delta x = 11.0,1 = 1,1 \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 20997,20998

2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa của đạo hàm ta có: 

f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Do đó với {\Delta x} đủ nhỏ thìf'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} hay \Delta y \approx f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x

Từ đó ta có: 

f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + f\left( {{x_0}} \right)

3. Ứng dụng của Vi phân

1. Ứng dụng vi phân trong tiếp tuyến và pháp tuyến

2. Ứng dụng trong công thức Newton

3. Ứng dụng trong chuyển động cong

4. Ứng dụng trong tốc độ liên quan

  • 1.398 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11