Lớp 11 Toán 11

Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình sinx = a (1)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a

(1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = \pi - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \beta = \arcsin a

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

a. \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

b. \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})

c. \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right)

{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = \pi - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.}

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác:

a, \sin x = \sin \frac{\pi }{3} b, \sin x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

Hướng dẫn giải

a, Phương trình đã cho tương đương

\sin x = \sin \frac{\pi }{3}

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} \right.

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.

b, Phương trình đã cho tương đương

\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} \right.

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 9311,9305

2. Phương trình cosx = a (2)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta = a

(2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \beta = \arccos a

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình ta có

a, \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

b, \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})

c, \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

{\cos f(x) = \cos g(x)}

{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.}

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1

Hướng dẫn giải

\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1

\Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( \pi \right)

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{\pi }{4} = \pi + k2\pi } \\ {x + \dfrac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi } \end{array}} \right.

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{ - 5\pi }}{4} + k2\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 9313,9301

3. Phương trình tan x = a (3)

Với \forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta = a

\begin{matrix} (3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \beta = \arctan a \hfill \\ \end{matrix}

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

a, \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi

b, \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi

c, \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi

{\tan f(x) = \tan g(x){\text{ }}}

{ \Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z})}

Ví dụ: Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1 trên khoảng \left( { - {{90}^0};{{90}^0}} \right).

Hướng dẫn giải

\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1

\Leftrightarrow \tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = \tan {45^0}

\Leftrightarrow 2x - {15^0} = {45^0} + k{.180^0}

\Leftrightarrow 2x = {60^0} + k{.180^0}

\Leftrightarrow x = {30^0} + k{.90^0};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Do \left( { - {{90}^0};{{90}^0}} \right) nên - {90^0} < {30^0} + k{.90^0} < {90^0}

\Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}

\mathop \to \limits^{k \in \mathbb{Z}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 0 \Rightarrow {x_1} = {{30}^0}} \\ {k = - 1 \Rightarrow {x_2} = - {{60}^0}} \end{array}} \right.

\Rightarrow T = {x_1} + {x_2} = {30^0} + \left( { - {{60}^0}} \right) = - {30^0}

4. Phương trình cot x = a (4)

+ Với \forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\cot \beta = a

\begin{matrix} (4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \beta = \operatorname{arccot} a \hfill \\ \end{matrix}

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

a, \cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

b, \cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

c, \cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\begin{matrix} \cot f(x) = \cot g(x) \hfill \\ \Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \end{matrix}
Câu trắc nghiệm mã số: 9312,8157,2800
  • 15.133 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11