Lớp 11 Toán 11

Hàm số liên tục

I. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D và {{x}_{0}}\in D

  • Hàm số y = f(x) liên tục tại {{x}_{0}} nếu

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}}).

  • Hàm số y = f(x) không liên tục tại {{x}_{0}} ta nói hàm số gián đoạn tại {{x}_{0}}.

Ví dụ:  Xét tính liên tục của hàm số y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x+\sqrt{x+2}}{x+1} \\ 2x+3 \\ \end{matrix}\text{ }\begin{matrix} x\ge -1 \\ x<-1 \\ \end{matrix} \right. tại x = -1

Hướng dẫn giải

Ta có: f(-1)=1

\begin{align} & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}}=\frac{3}{2} \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2x+3)=1 \\ & \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x) \\ \end{align}

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1.

Câu trắc nghiệm mã số: 21078

II. Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa

  • Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
  • Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ } nếu nó liên tục trên (a,b) và

\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}{\text{ khi }}x \ne - 1} \\ {{\text{ - 3 khi }}x = - 1} \end{array}} \right. trên tập xác định.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = \mathbb{R}

Khi x \ne - 1 thì y={\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}} là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)

Tại điểm x=-1 ta có: f(-1)=-3

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x - 2} \right) = - 3 = f\left( { - 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Do đó hàm số liên tục tại x=-1

Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}.

Câu trắc nghiệm mã số: 21080

II. Các định lí cơ bản

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \mathbb{R}.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn \text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }

Nếu f(a)\ne f(b) và P là một điểm nằm giữa f(a),f(b) thì tồn tại ít nhất một số c\in (a,b) sao cho f(c)=P

Định lí 3: Cho các hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục tại {{x}_{0}}. Khi đó:

a) Các hàm số y = f\left( x \right) + g\left( x \right), y = f\left( x \right) - g\left( x \right), y = f\left( x \right) . g\left( x \right) liên tục tại {{x}_{0}}.

b)  Hàm số y=\frac{f(x)}{g(x)} liên tục tại {{x}_{0}} nếu g(x)\ne 0.

Hệ quả

Cho hàm số liên tục trên đoạn \text{ }\!\![\!\!\text{ }a,b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }. Nếu f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một số c\in (a,b) sao cho f(c)=0.

Nói cách khác:

Nếu f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a,b).

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình 2{x^4} - 2{x^3} - 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0)

Hướng dẫn giải

Đặt f\left( x \right) = 2{x^4} - 2{x^3} - 3

Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên \mathbb{R} nên f(x) liên tục trên \mathbb{R}

=> f(x) liên tục trên [-1;0]

Ta có: 

\begin{matrix} f\left( 0 \right) = - 3;f\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \\ \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0 \hfill \\ \end{matrix}

=> f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) (điều phải chứng minh).

  • 390 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11