Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên khoảng
và
.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1.
Định nghĩa
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Khi thì
là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên
Tại điểm ta có:
Do đó hàm số liên tục tại
Vậy hàm số liên tục trên .
Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lí 2: Cho hàm số f liên tục trên đoạn
Nếu và P là một điểm nằm giữa
thì tồn tại ít nhất một số
sao cho
Định lí 3: Cho các hàm số liên tục tại
. Khi đó:
a) Các hàm số ,
,
liên tục tại
.
b) Hàm số liên tục tại
nếu
.
Hệ quả
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu
thì tồn tại ít nhất một số
sao cho
.
Nói cách khác:
Nếu thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Hướng dẫn giải
Đặt
Vì là hàm đa thức xác định trên
nên
liên tục trên
=> liên tục trên
Ta có:
=> có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(điều phải chứng minh).