Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Một số phương trình lượng giác thường gặp

A. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0 trong đó a,b là các hằng số (a\ne 0) và t là một hàm số lượng giác.

Phương trình có dạng: \left[ \begin{gathered} a\sin x + b = 0 \hfill \\ a\cos x + b = 0 \hfill \\ a\tan x + b = 0 \hfill \\ a\cot x + b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {a,b \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)

Phương pháp

Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a, ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: \sin x=\frac{-b}{a}, \cos x=\frac{-b}{a}

Ví dụ: Giải phương trình: \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

B. Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

a{{t}^{2}}+bt+c=0

trong đó a, b,c là các hằng số (a\ne 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương pháp

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Tính số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2{\cos ^2}x + 5\cos x + 3 = 0 trên đường tròn lượng giác.

Hướng dẫn giải

Đặt \cos x = t;\left( { - 1 \leqslant t \leqslant 1} \right)

Phương trình trở thành:

\begin{matrix} 2{t^2} + 5t + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {2t + 3} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t + 1 = 0} \\ {2t + 3 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1\left( {tm} \right)} \\ {t = - \dfrac{3}{2}\left( {ktm} \right)} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Với t = - 1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

=> Có duy nhất một vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

C. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx

Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với \sin x và \cos x có dạng:

a\sin x+b\cos x=c,\left( a\ne 0,b\ne 0 \right)

Phương pháp

 Chia cả 2 vế cho \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} ta được:

\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

Do {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1 nên ta đặt:

\cos \beta =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}, \sin \beta =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

Khi đó phương trình trở thành

\begin{matrix} \cos \beta \sin x + \sin \beta \cos x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \beta } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \hfill \\ \end{matrix}

Chú ý

Phương trình bậc nhất đối với \sin x và \cos x có nghiệm khi {{c}^{2}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}.

Ví dụ: Tính số nghiệm của phương trình \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = \sqrt 3 trên khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

 \begin{matrix} \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = \sqrt 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}.\sin 2x + \sin \dfrac{\pi }{3}.\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{3} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {2x + \dfrac{\pi }{3} = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Với 0 < k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < k < \frac{1}{2} => Không có giá trị k thỏa mãn.

Với 0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{2}

=> k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}

Vậy phương trình có một nghiệm thuộc khoảng \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).

D. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Định nghĩa

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với \sin x và \cos x có dạng:

a.{{\sin }^{2}}x+b.\sin x\cos x+c.{{\cos }^{2}}x=d

Phương pháp

Kiểm tra \cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình.

Khi \cos x\ne 0, chia cả 2 vế của phương trình cho {{\cos }^{2}}x ta thu được phương trình:

a.{{\tan }^{2}}x+b.\tan x+c=0

Đây là phương trình bậc hai đối với \tan x.

Đặc biệt

Phương trình dạng:

\begin{matrix} a.{\sin ^2}x + b.\sin x\cos x + c.{\cos ^2}x = d.1 \hfill \\ \Leftrightarrow a.{\sin ^2}x + b.\sin x\cos x + c.{\cos ^2}x = d.\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a - d} \right).{\sin ^2}x + b.\sin x\cos x + \left( {c - d} \right){\cos ^2}x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình: 2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 2

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

\begin{matrix} 2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - 3{\cos ^2}x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\cos x.\left( {\sqrt 3 \sin x - \cos x} \right) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos x = 0} \\ {\sqrt 3 \sin x - \cos x = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {\sqrt 3 \sin x = \cos x} \end{array}} \right.

\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \\ {\tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

E. Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx

Định nghĩa

Phương trình chứa \sin x \pm \cos x và \sin x.\cos x có dạng: 

a.\left( {\sin x \pm \cos x} \right) + b.\sin x\cos x + c = 0,\left( {a,b \ne 0} \right)

Phương pháp

Đặt t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x \pm\frac{\pi }{4} \right),t\in \left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]

Khi đó  \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}. Thay t vào phương trình ta được phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ: Giải phương trình: \sin x.\cos x + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 2

Hướng dẫn giải

Đặt t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)

Điều kiện {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]}

\begin{matrix} {t^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x.\cos x \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Phương trình ban đầu trở thành:

\begin{matrix} \dfrac{{1 - {t^2}}}{2} + 2t = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {tm} \right)} \\ {t = - 5\left( {ktm} \right)} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Với t=1 ta được: 

\begin{matrix} \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\ {x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = k2\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 9281,9280,8601,8602
  • 3.354 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11