Hai mặt phẳng song song

I. Định nghĩa

Định nghĩa

Hình vẽ minh họa

II. Tính chất

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Hình ảnh minh họa

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Mặt phẳng (P) đi qua H và song song với (SAB). Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD).

Với

Ví dụ: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh:

a) (ADF) // (BCE)

b) M’N’ // DF

c) (DEF) // (MM’N’N) và MN // (DEF).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta có:

Tương tự:

Mà

=>

b) Ta có: ABCD và ABEF là các hình vuông nên AC = BF. Khi đó:

MM’ // CD =>

NN’ // AB =>

=>

c) Từ chứng minh trên ra suy ra: DF // (MM’N’N)

Mặt khác

Mà

Vì

III. Định lí Ta – Lét (Thalès)

Hình ảnh minh họa

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên ba cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho (*). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (MNP) và (AB’D’) song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Từ (*) ta suy ra được:

Theo Định lý Ta - lét đảo, ta có ba đường thẳng MP, AB’, BC’ cùng song song với một mặt phẳng (α) cố định.

Ta có thể lấy (α) là mặt phẳng qua C và song song với AB’, BC’.

Do (α) // BC’, mà BC’ // AD’ và AD’ ⊄ (α), nên (α) // AD’, (AD’ ⊄ (α) vì (α) // AB’, nghĩa là (α) không thể chứa điểm A).

Ta có:

=> (AB’D’) // (α)

Vậy (α) là mặt phẳng qua C, song song với (AB’D’).

Từ giả thiết (*), ta suy ra được

Theo Định lý Ta - lét đảo, ta có ba đường thẳng AD’, MN, BD cùng song song với một mặt phẳng (β) cố định.

Ta có thể lấy (β) là mặt phẳng qua C và song song với AD’, BD.

Do (β) // BD, mà BD // B’D’ và B’D’ ⊄ (β), nên (β) // B’D’, (B’D’ ⊄ (β) vì (β) // AD’, nghĩa là (β) không thể chứa điểm D’).

Ta có:

=> (AB’D’) // (β)

Vậy (β) là mặt phẳng qua C, song song với (AB’D’), suy ra (β) ≡ (α)

Ta có:

=> (MNP) // (α)

Lại có (AB’D’) // (α), (AB’D’) và (MNP) phân biệt, suy ra (MNP) // (AB’D’).

IV. Hình lăng trụ và hình hộp

Hình vẽ minh họa

Đặc điểm của hình lăng trụ

• Hai đa giác A₁A₂A_{3­ ….} A_n và A’_1­A’₂A’_{3­ ….} A’_n được gọi là mặt đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ.
• Các đoạn thẳng A₁A’₁, A₂A’₂, … , A_nA’_n gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.
• Các hình bình hành A₁A₂A’₂A’₁, A₂A₃A’₃A’₂, …, A_nA₁A’₁A’_n được gọi là các mặt bên của hình trụ.
• Các đỉnh của hai đa giác đáy là các đỉnh của hình lăng trụ.

Tính chất của hình lăng trụ

• Các mặt bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.
• Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
• Hình lăng trụ có đáy là tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.
• Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành là hình hộp.
• Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau:

V. Hình chóp cụt

Hình vẽ minh họa

Đặc điểm của hình chóp cụt

• Đáy A₁A₂A_{3­ ….} A_n của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.
• Thiết diện A’_1­A’₂A’_{3­ ….} A’_n của hình chóp và (P) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
• Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác, …)

Tính chất của hình chóp cụt

• Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp có cạnh tương ứng bằng nhau.
• Các mặt bên là hình thang
• Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại 1 điểm.