Lớp 11 Toán 11

Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng H chứa điểm x­­0 và hàm số y = f(x) xác định trên H hoặc trên H\{x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x­0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ H\{x0} và xn ⟼ x0, ta có: \lim f\left( {{x_n}} \right) = L

Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L hay f\left( x \right) \to L khi x \to {x_0}

Chú ý: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c,\left( {c = const} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Ví dụ: Cho hàm số f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}. Chứng minh rằng \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 4.

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn {x_n} \ne 2 và {x_n} \to 2 khi n \to + \infty

Ta có:

\begin{matrix} \lim f\left( x \right) = \lim \dfrac{{{x_n}^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {{x_n} + 2} \right)\left( {{x_n} - 2} \right)}}{{{x_n} + 2}} \hfill \\ = \lim \left( {{x_0} - 2} \right) = - 4 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 4 \hfill \\ \end{matrix}

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí

Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi x \to {x_0} bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x \to {x_0}.

Nói cách khác: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P, \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = Q. Ta có:

  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = P + Q
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = P - Q
  • Nếu f\left( x \right) \geqslant 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L thì\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0
  • Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| L \right|

3. Giới hạn một bên

Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {{x_0},b} \right)

  • Giới hạn phải: Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f\left( x \right) khi x dần tới {x_0} nếu với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L. Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L
  • Giới hạn trái: Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f\left( x \right) khi x dần tới nếu với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n} mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L. Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L.

Định lí

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L

II. Giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực của hàm số

1. Định nghĩa giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực của hàm số

a. Giới hạn tại vô cực

  • Hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {a, + \infty } \right) có giới hạn L khi {x_n} \to + \infty nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right):{x_n} > a và {x_n} \to + \infty thì f\left( {{x_n}} \right) \to L. Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L.
  • Hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( { - \infty ,b} \right) có giới hạn L khi {x_n} \to - \infty nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right):{x_n} < b và {x_n} \to - \infty thì f\left( {{x_n}} \right) \to L. Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L.

Ví dụ: Cho hàm số y = f\left( x \right) = \frac{{3 + 2x}}{{ - 1 + x}}. Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên \left( { - \infty ;1} \right) và \left( {1; + \infty } \right)

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì và thỏa mãn xn < 1 và {x_n} \to - \infty

Ta có:

\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{3 + 2{x_n}}}{{ - 1 + {x_n}}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{{{x_n}}}}}{{ - \dfrac{1}{{{x_n}}} + 1}} = 2

Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2

Giả sử (xn) là một dãy số bất kì và thỏa mãn xn > 1 và {x_n} \to + \infty

Ta có:

\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{3 + 2{x_n}}}{{ - 1 + {x_n}}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{{{x_n}}}}}{{ - \dfrac{1}{{{x_n}}} + 1}} = 2

Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2

Chú ý: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương ta luôn có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{{x^k}}} = 0

b. Giới hạn vô cực

Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên khoảng \left( {a, + \infty } \right)

Ta nói hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn là - \infty khi x \to +\infty nếu với dãy số \left( {{x_n}} \right) bất kì, {x_n} > a và {x_n} \to + \infty, ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to - \infty

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty hay f\left( x \right) \to - \infty khi x \to +\infty

2. Giới hạn đặc biệt

\begin{matrix} \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ;\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right) \hfill \\ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n}}} \\ { - \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n + 1}}} \end{array}} \right.\left( {n \in \mathbb{R}} \right) \hfill \\ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left| {\dfrac{1}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| {\dfrac{1}{x}} \right| = + \infty \hfill \\ \end{matrix}

 \begin{matrix} \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0 \hfill \\ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{1}{x} = - \infty \hfill \\ \mathop { \bullet \lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{x} = + \infty \hfill \\ \end{matrix}

3. Quy tắc tính giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực

Quy tắc 1: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \ne 0, \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } g\left( x \right) = \pm \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = \pm \infty

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)
P>0 + \infty + \infty
- \infty - \infty
P<0 + \infty - \infty
- \infty + \infty

Quy tắc 2: 

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)

Dấu của g(x)

 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}
\alpha \pm \infty

Tùy ý

 0
P>0

0

+

 + \infty

-

 - \infty
P<0

0

+

 - \infty

-

 + \infty

Ví dụ: Tìm \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{x^3} - 2x} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} \right) = - \infty

Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3}} \right) = - \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right) = 1 > 0} \end{array}} \right.

Ví dụ: Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2x - 3}}{{x - 1}}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2x - 3}}{{x - 1}}} \right) = + \infty

Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 3} \right) = 2.1 - 3 = - 1 < 0} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 1} \right) = 0 \hfill \\ x - 1 < 0,\forall x < 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.

  • 85 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11