Cho khoảng H chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên H hoặc trên H\{x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ H\{x0} và xn ⟼ x0, ta có:
Kí hiệu hay
khi
Chú ý:
Ví dụ: Cho hàm số . Chứng minh rằng
.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn và
khi
Ta có:
Định lí
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi
.
Nói cách khác: Cho ,
. Ta có:
|
|
Cho hàm số xác định trên
Định lí
a. Giới hạn tại vô cực
Ví dụ: Cho hàm số . Tính
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định trên và
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì và thỏa mãn xn < 1 và
Ta có:
Vậy
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì và thỏa mãn xn > 1 và
Ta có:
Vậy
Chú ý: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương ta luôn có:
b. Giới hạn vô cực
Cho hàm số xác định trên khoảng
Ta nói hàm số có giới hạn là
khi
nếu với dãy số
bất kì,
và
, ta có:
Kí hiệu: hay
khi
|
![]() |
Quy tắc 1: ,
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Quy tắc 2:
![]() |
![]() |
Dấu của g(x) |
![]() |
![]() |
![]() |
Tùy ý |
0 |
![]() |
0 |
+ |
![]() |
- |
![]() |
||
![]() |
0 |
+ |
![]() |
- |
![]() |
Ví dụ: Tìm
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì
Ví dụ: Tính
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì