Hàm số liên tục trên
, được gọi là có đạo hàm tại
nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn:
và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm
. Ta kí hiệu là
tức là:
Chú ý:
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm
bằng định nghĩa ta có quy tắc sau đây:
Cách 1:
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0, tính:
Bước 2: Lập tỉ số
Bước 3: Tìm .
Cách 2: Tính
Ví dụ: Cho hàm số . Dùng định nghĩa đạo hàm đã biết hãy tính đạo hàm của hàm số tại x = 0.
Hướng dẫn giải
Thực hiện tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau:
Định lí: Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm
thì
liên tục tại
.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm nhưng hàm đó không có đạo hàm tại
.
Đạo hàm bên trái
Đạo hàm bên phải
Hệ quả:
Hàm số có đạo hàm tại
Ví dụ: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Hàm số không liên tục tại x = 0 |
B. Hàm số không có đạo hàm |
C. Hàm số liên tục tại x = 2 |
D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0 |
Hướng dẫn giải
Xét các giới hạn như sau:
Do nên hàm số không liên tục tại x = 0
Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0
Chọn đáp án D.
a. Ý nghĩa hình học
Đạo hàm của hàm số tại điểm
là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm
đó.
Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M:
b. Ý nghĩa vật lí
Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng
Vận tốc tức thời tại điểm
là:
Gia tốc tức thời tại điểm
là đọa hàm cấp 2 của phương trình chuyển động hay nói cách khác gia tốc tức thời là đạo hàm bậc 1 của vận tốc tức thời tại điểm
.
Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm :
Định nghĩa
Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
trên khoảng đó.
Khi đó ta gọi hàm số f':
là đạo hàm của hàm số trên khoảng
kí hiệu là y' hay f'(x).
Mở rộng kiến thức
Định lý Rolle:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b), có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f(a) = f(b) thì luôn tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý Lagrange:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b), có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một số c ∈ (a; b) sao cho .