Lớp 11 Toán 11

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm

Hàm số y=f\left( x \right) liên tục trên \left( a,b \right), được gọi là có đạo hàm tại {{x}_{0}}\in \left( a,b \right) nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn:

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm {{x}_{0}}. Ta kí hiệu là f'\left( {{x}_{0}} \right) tức là:

f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

Chú ý: 

  • Đại lượng \Delta x = x - {x_0}được gọi là số gia của đối số {x_0}.
  • Đại lượng \Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)= f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:

y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm {{x_0}} bằng định nghĩa ta có quy tắc sau đây:

Cách 1:

Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0, tính:

\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)

Bước 2: Lập tỉ số \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}

Bước 3: Tìm \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}.

  • Nếu \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}
  • Nếu \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm

Cách 2: Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

  • Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}
  • Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm.

Ví dụ: Cho hàm số \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\text{ khi x}} \ne {\text{0}}} \\ {\dfrac{1}{4}{\text{ khi x = 0}}} \end{array}} \right.. Dùng định nghĩa đạo hàm đã biết hãy tính đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau:

\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 20800,20794

3. Mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f\left( x \right) có đạo hàm tại điểm {{x}_{0}} thì f\left( x \right) liên tục tại {{x}_{0}}.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm {{x}_{0}} nhưng hàm đó không có đạo hàm tại {{x}_{0}}.

Đạo hàm bên trái f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

Đạo hàm bên phải f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

Hệ quả:

Hàm số f\left( x \right) có đạo hàm tại {{x}_{0}}\Leftrightarrow \exists f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right),f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right):f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)

Ví dụ: Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\text{x}}^2}{\text{ - 1 khi x}} \geqslant {\text{0}}} \\ {{\text{ - }}{{\text{x}}^2}{\text{ khi x < 0}}} \end{array}} \right.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Hàm số không liên tục tại x = 0

B. Hàm số không có đạo hàm

C. Hàm số liên tục tại x = 2

D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0

Hướng dẫn giải

Xét các giới hạn như sau:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0} \end{array}} \right.

Do nên hàm số không liên tục tại x = 0

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

Chọn đáp án D.

Câu trắc nghiệm mã số: 20811

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a. Ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số f\left( x \right) tại điểm {{x}_{0}} là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right) đó.

Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M:

y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 20793,20791

b. Ý nghĩa vật lí

Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng s=f\left( t \right)

\Rightarrow Vận tốc tức thời tại điểm {{t}_{0}} là: v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)

\Rightarrow Gia tốc tức thời tại điểm {{t}_{0}} là đọa hàm cấp 2 của phương trình chuyển động hay nói cách khác gia tốc tức thời là đạo hàm bậc 1 của vận tốc tức thời tại điểm {{t}_{0}}.

a\left( {{t}_{0}} \right)=f''\left( {{t}_{0}} \right)=v'\left( {{t}_{0}} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 20789,20787

Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

Q=f\left( t \right)

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm {{t}_{0}}:

I\left( {{t}_{0}} \right)=Q'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)

II. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa

Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f':

\left( {a;b} \right) \to \mathbb{R}

x \mapsto f'\left( x \right)

là đạo hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng y=f(x) kí hiệu là y' hay f'(x).

Mở rộng kiến thức

Định lý Rolle:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b), có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f(a) = f(b) thì luôn tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f’(c) = 0.

Định lý Lagrange:

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b), có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một số c ∈ (a; b) sao cho f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b{\text{ }} - {\text{ }}a}}.

  • 1.188 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11