Lớp 11 Toán 11

Đường thẳng và mặt phẳng song song

I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho mặt phẳng \left( \alpha \right) và đường thẳng d, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: d và (\alpha) không có điểm chung

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

  • Ta nói d song song với \left( \alpha \right) hay \left( \alpha \right) song song với d
  • Kí hiệu là \left( \alpha \right)//d hay d //\left( \alpha \right)

Trường hợp 2: d và \left( \alpha \right) có một điểm chung duy nhất

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

  • Ta nói d và \left( \alpha \right) cắt nhau tại điểm G
  • Kí hiệu d\cap \left( \alpha \right)=\left\{ G \right\} hay \left( \alpha \right)\cap d =\left\{ G \right\}

Trường hợp 3: d và \left( \alpha \right) có nhiều hơn hai điểm chung

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

  • Ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \left( \alpha \right) hoặc \left( \alpha \right) chứa d
  • Kí hiệu d\subset \left( \alpha \right) hay \left( \alpha \right) \subset d

II. Tính chất 

Định lí

Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng \left( \alpha \right) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong \left( \alpha \right) thì d song song với d’.

Hay \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d \not\subset \left( \alpha \right)} \\ {d//d'} \\ {d' \subset \left( \alpha \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow d//\left( \alpha \right)

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao
cho MB = 2MC. Chứng minh rằng đường thẳng MG song song với mặt phẳng (ACD).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Gọi N là trung điểm của AD.

Ta có: \frac{{BG}}{{BN}} = \frac{2}{3} (Vì G là trọng tâm tam giác ABD).

Theo giả thiết, ta có: MB = 2MC => \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}

Tam giác BCN có \frac{{BG}}{{BN}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} 

=> MG // CN

Mà MG \not\subset \left( {ACD} \right),CN \subset \left( {ACD} \right)

= > MG//\left( {ACD} \right)

Định lí

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng \left( \alpha \right). Nếu mặt phẳng \left( \beta \right) chứa a và cắt \left( \alpha \right) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Hay \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a//\left( \alpha \right)} \\ {a \subset \left( \beta \right)} \\ {\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = b} \end{array}} \right. \Rightarrow a//b

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Hệ quả

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Hay \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d//\left( \alpha \right)} \\ {d//\left( \alpha \right)} \\ {\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'} \\ {\left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow d//d'

Hình vẽ minh họa

Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm của
SB. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, song song với SD và AC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng của (P) và (SBD).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Ta có:

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {I \in \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right)} \\ {\left( P \right)//SD} \\ {SD \subset \left( {SBD} \right)} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right) = Ix \hfill \\ \end{matrix}

Trong đó Ix // SD. Gọi Ix ∩ BD = K

=> (P) ∩ (SBD) = IK

Định lí: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Chú ý: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Cách dựng mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b.

  • Lấy điểm M thuộc a
  • Qua M kẻ đường thẳng b' song song với b. Mặt phẳng (\alpha) chứa a và b'

Hình vẽ minh hoa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi (α) là mặt phẳng qua trung điểm của cạnh AC, song song
với AB và CD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (α). 

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Gọi I, J, L, K lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Ta có:

 

(α) ∩ (BCD) = JL

(α) ∩ (ABD) = LK

(α) ∩ (ACD) = IK

Do đó (α) ∩ (ABCD) = IJLK . Dễ thấy IJLK là hình bình hành.

Câu trắc nghiệm mã số: 21795,21796
  • 1.758 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11