Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Dãy số \left( {{u}_{n}} \right) được gọi là có giới hạn hữu hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối \left| {{u_n}} \right| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0.hay \lim {u_n} = 0

Ví dụ: \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0

Dãy số \left( {{u_n}} \right) có giới hạn là a nếu \left| {{u_n} - a} \right| có giới hạn bằng 0. Nghĩa là:

\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0

Ví dụ: \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{n + 3}} = 2

Chú ý: Dãy số \left( {{u}_{n}} \right) có giới hạn là số thực được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

2. Một số giới hạn đặc biệt

  • \lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}
  •  Nếu \left| {{q}^{n}} \right|<1 thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0
  •  Nếu {{u}_{n}}=c=const\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim c=c}}\,

Chú ý: Cách viết \lim {{u}_{n}}=a thay cho \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a

Câu trắc nghiệm mã số: 8260,8224,8211

II. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1: Nếu dãy số \left( {{u}_{n}} \right) thỏa mãn \left| {{u}_{n}} \right|<{{v}_{n}} kể từ số hạng nào đó trở đi và \lim {{v}_{n}}=0 thì \lim {{u}_{n}}=0.

Định lí 2: Cho \lim {{u}_{n}}=a, \lim {{v}_{n}}=b. Ta có:

  • \lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b
  • \lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b
  • \lim ({{u}_{n}}.{{v}_{n}})=a.b
  • \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b} ,(b \ne 0)
  • Nếu {{u}_{n}}\ge 0,\forall n và \lim {u_n} = a thì \lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}

III. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân vô hạn \left( {{u}_{n}} \right) có công bội q thỏa mãn \left| q \right|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:

S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}+.... =\frac{{{u}_{1}}}{1-q}

Ví dụ: Tính giới hạn sau \lim \frac{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}{{{{2.3}^{n + 1}} + {2^n}}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \lim \dfrac{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}{{{{2.3}^{n + 1}} + {2^n}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{3}{2}\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{{{2.3}^{n + 1}} + {2^n}}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}

IV. Giới hạn vô cực của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số 

Ta nói dãy số \left( {{u}_{n}} \right) có giới hạn +\infty khi n \to + \infty, nếu {u_n} có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trờ đi

Kí hiệu: \lim {u_n} = + \infty

Ta nói dãy số \left( {{u}_{n}} \right) có giới hạn -\infty khi n \to + \infty, nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{u}_{n}})=+\infty

Kí hiệu: \lim {u_n} = - \infty

2. Một số kết quả đặc biệt

  • \lim {{n}^{k}}=+\infty ,\forall k>0
  • \lim {{q}^{n}}=+\infty ,\forall q>1
  • Nếu \lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty thì \lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn của dãy số

Quy tắc 1: Nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=\pm \infty thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}}) được cho như sau:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}} \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}} \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})
+\infty +\infty +\infty
+\infty -\infty -\infty
-\infty +\infty -\infty
-\infty -\infty +\infty

Quy tắc 2: Nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=L thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}}) được cho như sau:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}} Dấu của L \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})
+\infty + +\infty
+\infty - -\infty
-\infty + -\infty
-\infty - +\infty

Quy tắc 3: Nếu \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty và {{v}_{n}}>0 hoặc {{v}_{n}}<0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} được coi như sau:

Dấu của u_n

 Dấu của {{v}_{n}} \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}
+\infty + +\infty
+\infty - -\infty
-\infty + -\infty
-\infty - +\infty

Ví dụ: Tính giới hạn sau: \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - {n^2}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - {n^2}} \right) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^2}\left( {\sqrt {\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right] \hfill \\ \end{matrix}

Mà \lim {n^2} = + \infty và \lim \left( {\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} - 1} \right) = \left( {\sqrt {0 + 0} - 1} \right) = - 1 < 0 nên \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - {n^2}} \right) = - \infty

Ví dụ: Tính giới hạn: \lim \frac{{{n^3} - 7n}}{{1 - 2{n^2}}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \lim \dfrac{{{n^3} - 7n}}{{1 - 2{n^2}}} = \lim \dfrac{{{n^3}\left( {1 - \dfrac{7}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\dfrac{1}{{{n^2}}} + 2} \right)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( {1 - \dfrac{7}{{{n^2}}}} \right)}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 2}} = + \infty \hfill \\ \end{matrix}

Vì \lim \dfrac{{1 - \dfrac{7}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 2}} = \dfrac{1}{2} > 0 và \lim n = + \infty

Câu trắc nghiệm mã số: 8242,8243,8244
  • 606 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11