Lớp 11 Toán 11

Cấp số cộng

1. Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa

Dãy số \left( {{U}_{n}} \right) được xác định bởi: \left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix}{{u}_{1}}=a \\{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d \\\end{matrix}\left( n\in \mathbb{N*} \right) \right. thì dãy số này được gọi là cấp số cộng với số hạng đầu là u_1, d là công sai.

Ví dụ: Dãy số -2; 1; 4; 7; 10; 13; ... là một cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u_1 và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức m+n=k+t thì 

{{u}_{n+1}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d ,(n \ge 1)

\Rightarrow d=\frac{{{u}_{n+1}}-{{u}_{1}}}{n-1}

Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) biết {u_1} = - 3;d = 7. Tìm {u_{15}};{u_{20}};{u_{25}}

Hướng dẫn giải

Theo công thức ta có:

\begin{matrix} {u_{15}} = {u_1} + \left( {15 - 1} \right)d = - 3 + 14.7 = 95 \hfill \\ {u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d = - 3 + 19.7 = 130 \hfill \\ {u_{25}} = {u_1} + \left( {55 - 1} \right)d = - 3 + 24.7 = 165 \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 1224,1218

3. Tính chất của cấp số cộng

Định lí

Cho cấp số cộng (u_n). Khi đó:

{u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\left( {\forall k \geqslant 2} \right)

Hệ quả

Nếu (u_n) là cấp số cộng và m,n,k,t thỏa mãn m+n=k+t thì

{u_m} + {u_n} = {u_k} + {u_t}

Chú ý:

  • Để chứng minh dãy số (u_n) là một cấp số cộng thì ta chứng minh {u_{n + 1}} = {u_n} + d,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right) hay {u_{n + 1}} - {u_n} = d, với d là số không đổi.
  • Để chứng minh ba số a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta chứng minh b-a=c-b

Ví dụ: Tìm m biết ba số 10-3m,3m^2+5,5-4m theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Đặt \left\{ \begin{gathered} a = 10 - 3m \hfill \\ b = 3{m^2} + 5 \hfill \\ c = 5 - 4m \hfill \\ \end{gathered} \right.. Vì a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên a+c=2b

Do đó ta có:

\begin{matrix} a + c = 2b \hfill \\ \Leftrightarrow 10 - 3m + 5 - 4m = 2\left( {3{m^2} + 5} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 6{m^2} + 7m - 5 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{1}{2}} \\ {m = - \dfrac{5}{3}} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 9548

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:

\begin{matrix} S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \hfill \\ S = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Chứng minh công thức:

Ta có:

S_n=u_1+u_1+d+u_1+2d+...+u_1+\left(n-1\right)d\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)

Mặt khác:

S_n=u_n-\left(n-1\right)d+u_n-\left(n-2\right)d+...+u_n-d+u_{n\ \ \ \ \ \ \ }(2)

Lấy (1) cộng (2) ta được

\Rightarrow2S_n=n\left(u_1+u_n\right)\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}

\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}=\frac{n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}

Ví dụ: Tính tổng S = 100 + 105 + 110 + ... + 995

Hướng dẫn giải

Các số hạng của tổng S lập thành cấp số cộng (u_n) với {u_1} = 100,d = 5

Giả sử 995 là số hạng thứ n,(n \in \mathbb{N^*}) ta có:

\begin{matrix} 995 = 100 + \left( {n - 1} \right).5 \hfill \\ \Leftrightarrow 5n = 90 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 180 \hfill \\ \Rightarrow S = {S_{100}} = \dfrac{{180\left( {100 + 995} \right)}}{2} = 98550 \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 1232
  • 566 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11