Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

1. Định nghĩa điểm, đường thẳng và mặt phẳng

a) Để biểu diễn một mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc. Kí hiệu mặt
phẳng: dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn. Ví dụ: mặt phẳng , mặt phẳng hoặc viết tắt là hoặc

b) Điểm thuộc mặt phẳng kí hiệu là .

Điểm không thuộc mặt phẳng kí hiệu là .

2. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung
khác nữa.

Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 

3. Cách xác định một mặt phẳng

Chú ý: 

• Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
• Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

Ví dụ: Cho mặt phẳng và ba điểm không thẳng hàng nằm ngoài mặt phẳng . Giả sử các đường thẳng lần lượt cắt tại . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> thuộc giao tuyến của và

Vậy thẳng hàng.

Ví dụ: Cho hình chóp . Gọi I là trung điểm của cạnh , là trung điểm của cạnh
, là điểm trên cạnh sao cho .

a) Tìm giao điểm của và mặt phẳng .

b) Tìm giao điểm của và mặt phẳng .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Gọi . Ta có: và .

Suy ra .

b) Gọi . Ta có: và .

Suy ra . 

4. Giao tuyến của hai mặt phẳng

• Giả sử là hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung . Khi đó có đường thẳng chung duy nhất đi qua . Đường thẳng được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
• Đường thẳng được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng , kí hiệu .

Ví dụ: Cho tứ giác có cặp cạnh đối không song song với nhau và là điểm
không nằm trên mặt phẳng . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và ,  và .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có: (1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó do

=> . Tương tự ta có . (2)

Từ (1) và (2) => SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Gọi K là giao điểm của AB và CD, khi đó ta có (3)

Mặt khác (4)

Từ (3) và (4) => SK là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 

5. Hình chóp và hình tứ diện

Ví dụ: Cho tứ diện ,  lần lượt là trung điểm của . Lấy sao cho . Xác định thiết diện của (MNK) với tứ diện.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có

Trong , kẻ ,

Trong , kẻ  

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNKF.