Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Ba đường conic

1. Elip

Cho hai điểm {{F}_{1}},{{F}_{2}} cố định có khoảng cách {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c (c>0).

  • Đường elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a (a cho trước lớn hơn c).
  • Hai điểm {{F}_{1}}(-c;0)\,;\,{{F}_{2}}(c;0) được gọi là hai tiêu điểm.
  • Đoạn {{F}_{1}}{{F}_{2}} được gọi là tiêu cự.
  • Phương trình chính tắc của elip

\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1

Trong đó: {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}} và a>b>0.

 

Mở rộng:

  • Trục lớn: {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a với hai đỉnh {{A}_{1}}(-a;0);{{A}_{2}}(a;0).
  • Trục bé: {{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b với hai đỉnh {{B}_{1}}(-b;0);{{B}_{2}}(b;0).
  • Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là P(-a;b),Q(a;b),R(a;-b),S(-a;-b).
  • Bốn đỉnh {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}} của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
  • Tâm sai của elip: e=\frac{c}{a} (0< e<1).
  • Với mỗi điểm M thuộc elip, các đoạn thẳng M{{F}_{1}},M{{F}_{2}} được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Trong đó: M{{F}_{1}}=a+ex\,;\,M{{F}_{2}}=a-ex.
  • Đường thẳng {{\Delta }_{1}}:x=-\frac{a}{e} gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm {{F}_{1}}.
  • Đường thẳng {{\Delta }_{2}}:x=\frac{a}{e} gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm {{F}_{2}}.

 

Ví dụ 1: Cho elip có phương trình chính tắc \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Hướng dẫn giải

Ta có: {{a}^{2}}=25\,,\,{{b}^{2}}=9\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{25-9}=4.

Vậy elip có hai tiêu điểm là {{F}_{1}}(-4;0)\,,\,{{F}_{2}}(4;0).

 

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm là {{F}_{1}}(-4;0) và đi qua điểm M(0;2).

Hướng dẫn giải

Elip có phương trình chính tắc là: \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 (a>b>0).

Vì {{F}_{1}}(-4;0) là một tiêu điểm nên c=4.

Vì M(0;2) thuộc elip nên \frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{2}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1. Suy ra b=2.

Ta có: a=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5}.

Vậy elip có phương trình chính tắc là: \frac{{{x}^{2}}}{20}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1.

 

2. Hypebol

Cho hai điểm {{F}_{1}},{{F}_{2}} cố định có khoảng cách {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c (c>0).

  • Đường elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \left| M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}} \right|=2a (a cho trước nhỏ hơn c).
  • Hai điểm {{F}_{1}}(-c;0)\,;\,{{F}_{2}}(c;0) được gọi là hai tiêu điểm.
  • Đoạn {{F}_{1}}{{F}_{2}} được gọi là tiêu cự.
  • Phương trình chính tắc của hypebol

\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1

Trong đó: {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} và  a>0;b>0.

 

Mở rộng:

  • Trục thực: {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a với hai điểm {{A}_{1}}(-a;0);{{A}_{2}}(a;0).
  • Trục ảo: {{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b với hai điểm {{B}_{1}}(0;-b);{{B}_{2}}(0;b).
  • Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là P(-a;b),Q(a;b),R(a;-b),S(-a;-b).
  • Hai đường thẳng PR và QS có phương trình lần lượt là y=-\frac{b}{a}x\,;\,y=\frac{b}{a}x được gọi là hai đường tiệm cận của hypebol.
  • Tâm sai của elip: e=\frac{c}{a} (e>1).
  • Với mỗi điểm M thuộc hypebol, các đoạn thẳng M{{F}_{1}},M{{F}_{2}} được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Trong đó: M{{F}_{1}}=\left| a+ex \right|\,;\,M{{F}_{2}}=\left| a-ex \right|.
  • Đường thẳng {{\Delta }_{1}}:x=-\frac{a}{e} gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm {{F}_{1}}.
  • Đường thẳng {{\Delta }_{2}}:x=\frac{a}{e} gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm {{F}_{2}}.

 

Ví dụ 1: Cho hypebol có phương trình chính tắc \frac{{{x}^{2}}}{16}-\frac{{{y}^{2}}}{25}=1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Hướng dẫn giải

Ta có: {{a}^{2}}=16\,;\,{{b}^{2}}=25\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{41}.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là {{F}_{1}}(-\sqrt{41};0)\,;\,{{F}_{2}}(\sqrt{41};0).

Tiêu cự 2c=2\sqrt{41}.

 

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường Hypebol có một tiêu điểm {{F}_{2}}(5;0) và đi qua điểm A(3;0).

Hướng dẫn giải

Hypebol có phương trình chính tắc là: \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 (a>0\,;\,b>0).

Vì A(3;0) thuộc hypebol nên \frac{{{3}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{0}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1. Suy ra a=3.

Vì {{F}_{2}}(5;0) là tiêu điểm của hypebol nên c=5.

Ta có: {{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}={{5}^{2}}-{{3}^{2}}=16.

Vậy hypebol có phương trình chính tắc là \frac{{{x}^{2}}}{9}-\frac{{{y}^{2}}}{16}=1.

 

3. Parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng \Delta cố định không đi qua F.

  • Đường parabol là tập hợp các điểm M cách đều F và \Delta.
  • Điểm F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng \Delta được gọi là đường chuẩn.
  • Phương trình chính tắc của parabol

{{y}^{2}}=2px (p>0)

Trong đó:

  • Tiêu điểm là F\left( \frac{p}{2};0 \right).
  • Phương trình đường chuẩn \Delta là x=-\frac{p}{2}.

 

Mở rộng

  • Khoảng cách FH=p được gọi là tham số tiêu của parabol.
  • Tâm sai e=1.
  • Với mỗi điểm M thuộc parabol, đoạn thẳng MF được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Trong đó: MF=x+\frac{p}{2}.

 

Ví dụ 1: Cho parabol có phương trình chính tắc {{y}^{2}}=2x. Tìm tiêu điểm F và đường chuẩn \Delta của parabol.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2p=2\Leftrightarrow p=1.

Parabol có tiêu điểm F\left( \frac{1}{2};0 \right) và đường chuẩn \Delta là x=-\frac{1}{2}.

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của parabol biết:

a. Parabol có tiêu điểm là F(3;0);

b. Parabol đi qua điểm M(2;-1).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của parabol là: {{y}^{2}}=2px (p>0).

a. Vì parabol có tiêu điểm F(3;0) nên \frac{p}{2}=3\Leftrightarrow p=6.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là {{y}^{2}}=12x.

b. Vì parabol đi qua M(2;-1) nên {{(-1)}^{2}}=2p.2\Leftrightarrow p=\frac{1}{4}.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là {{y}^{2}}=\frac{1}{2}x

 

Câu trắc nghiệm mã số: 8522,8520,8513,8511,8509

 

 

 

 

 

 

  • 11 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD