Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình có một trong các dạng sau:

 a{x^2} + bx + c > 0{\mkern 1mu} {\rm{ }};{\mkern 1mu} a{x^2} + bx + c \ge 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} a{x^2} + bx + c < 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} a{x^2} + bx + c \le 0 với a\neq0.

  • Nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn là các giá trị x mà khi thay vào bất phương trình thì ta được bất đẳng thức đúng.
  • Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

Nhận xét:

  1. Để giải bất phương trình a{{x}^{2}}+bx+c>0\,(tương tự với các bất phương trình còn lại) thì ta cần xét dấu của tam thức a{{x}^{2}}+bx+c, từ đó suy ra tập nghiệm.
  2. Cho tam thức bậc hai f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c (a\neq0). Đặt \Delta = {b^2} - 4ac, khi đó:
  • f(x) \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \le 0}\\ {a > 0} \end{array}} \right.; f(x) > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta < 0}\\ {a > 0} \end{array}} \right..
  • f(x) \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \le 0}\\ {a < 0} \end{array}} \right.; f(x) < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta < 0}\\ {a < 0} \end{array}} \right..

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 6{{x}^{2}}+7x-5>0.

Xét f(x)=6{{x}^{2}}+7x-5. Ta có: \Delta =169>0 và a=6>0. f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt {{x}_{1}}=-\frac{5}{3} và {{x}_{2}}=\frac{1}{2}.

Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình 6{{x}^{2}}+7x-5>0 có nghiệm khi x\in \left( -\infty ;-\frac{5}{3} \right)\cup \left( \frac{1}{2};+\infty \right).

Ví dụ 2: Tìm m để tam thức bậc hai sau dương với mọi x\in \mathbb{R}: 2{{x}^{2}}+(m-2)x+4-m.

Hướng dẫn giải

Đặt f(x)=2{{x}^{2}}+(m-2)x+4-m.

Ta có:f(x)>0 \forall x\in R\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta <0 \\a>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{(m-2)}^{2}}-4.2.(4-m)<0 \\2>0 \\\end{matrix} \right.

 

\Leftrightarrow {(m - 2)^2} - 8(4 - m) < 0\Leftrightarrow {m^2} + 4m - 28 < 0\Leftrightarrow - 2 - 4\sqrt 2 < m < - 2 + 4\sqrt 2

Vậy để tam thức bậc hai dương với mọi x\in \mathbb{R} thì - 2 - 4\sqrt 2 < m < - 2 + 4\sqrt 2.

Câu trắc nghiệm mã số: 7912,7914,7915,7916,7917,7919,7920,7921,7923,7976,7979,7982
  • 2 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD