Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Tổ hợp

1. Tổ hợp

  • Một tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ tập hợp n phần tử (với k,n là các số tự nhiên, 0\le k\le n).
  • Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là C_{n}^{k}, được tính bằng công thức:

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\,(0\le k\le n)

Chú ý:

  • C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{n!}.
  • Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một phần nhỏ trong tập lớn, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Để tính C_{n}^{k}, ta ấn các phím theo trình tự sau:

Ấn số n, ấn phím , ấn số k rồi ấn dấu =.

Ví dụ: Tính C_{5}^{3}.

Ta ấn lần lượt như hình vẽ:

Kết quả: C_{5}^{3}=10

 

Ví dụ 1: Có 10 học sinh hạnh kiểm tốt. Cần chọn ra 3 người để bầu làm ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10.

Vậy số cách chọn là C_{10}^{3}=120 (cách).

 

Ví dụ 2: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Cần chọn ra 3 bạn trong đó có cả 2 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Hướng dẫn giải

Số cách chọn 2 nam từ 5 nam là C_{5}^{2}=10 (cách).

Số cách chọn 1 nữ từ 3 nữ là C_{3}^{1}=3 (cách).

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn 2 nam và 1 nữ từ nhóm là: 10.3=30 (cách).

 

2. Ứng dụng của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp liên quan mật thiết đến nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, sắp xếp, vì vậy 3 công thức {{P}_{n}},A_{n}^{k},C_{n}^{k} sẽ được dùng rất nhiều.

Ví dụ: Trên bàn có 12 quyển sách, trong đó có 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý, 3 quyển sách hóa.

a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả sách lên giá sách. Biết trên giá sách các vị trí được đánh số từ 1 đến 12?

b. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quyển sách (gồm cả 3 môn)?

c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quyển sách (gồm cả 3 môn) để xếp vào 3 vị trí 1,2,3?

Hướng dẫn giải

a. Xếp 12 quyển sách vào 12 vị trí được đánh số là hoán vị của 12 phần tử.

Ta có: {{P}_{12}}=12!=479001600 (cách).

b. Chọn ra 3 quyển sách gồm cả 3 môn,suy ra: 1 quyển sách toán, 1 quyển sách lý, 1 quyển quyển hóa.

Chọn 1 quyển sách toán từ 5 quyển sách toán có C_{5}^{1}=5 (cách).

Chọn 1 quyển sách lý từ 4 quyển sách lý có C_{4}^{1}=4 (cách).

Chọn 1 quyển sách hóa từ 3 quyển sách hóa có C_{3}^{1}=3 (cách).

Sắp xếp 3 quyển sách vừa chọn vào 3 vị trí 1,2,3 có 3!=6 (cách) (chính là hoán vị của 3 phần tử).

Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra 3 quyển sách (gồm cả 3 môn) để xếp vào 3 vị trí 1,2,3 là: 5.4.3.6=360 (cách).

Câu trắc nghiệm mã số: 8579,8593,8584,8581
  • 3 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD