Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y'). Khi đó:

  • \overrightarrow u\pm\overrightarrow v=(x\pm x';y\pm y').
  • k\overrightarrow u=(kx;ky) với k \in \mathbb{R}.

Nhận xét:

  • Hai vectơ \overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y') cùng phương khi và chỉ khi \frac x{x'} = \frac y {y'}. (điều kiện x'.y' \neq 0)
  • Nếu điểm M có tọa độ (x;y) thì vectơ \overrightarrow {OM}=(x;y) và có độ dài OM=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Vectơ \overrightarrow u =(x;y) cũng có độ dài |\overrightarrow u|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Cho M(x;y);N(x';y') thì độ dài đoạn thẳng MN=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}.

Chú ý: 

  • Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là: M(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2).
  • Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3).

2. Tích vô hướng của hai vectơ

  • Nếu \overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y') thì \overrightarrow u.\overrightarrow v=x.x'+y.y'.

Chú ý:

  • Nếu \overrightarrow u vuông góc với \overrightarrow v thì \overrightarrow u.\overrightarrow v=0.
  • Góc giữa hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v là: \cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}= \frac{{x.x' + y.y'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2);B(0;1);C(-2;0). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

 Ta có: G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3).

Suy ra G(\frac{1+0-2}3;\frac{2+1+0}3) =(\frac{-1}3;1).

 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(1;-3);N(2;0). Tính độ dài đoạn thẳng MN và tìm tọa độ trung điểm I của MN.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng, ta có:

MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}=\sqrt{(2-1)^2+(0+3)^2} =\sqrt{10}.

Trung điểm I của  có tọa độ thỏa mãn: 

I(\frac{x_M+x_N}2;\frac{y_M+y_N}2). Suy ra I(\frac{1+2}2;\frac{-3+0}2) =(\frac32;\frac{-3}2).

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2);B(2-a;0);C(-2;1). Tìm a để ba điểm A,B,C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ta có: \overrightarrow {AB} =(1-a;-2) và \overrightarrow {AC} =(-3;-1).

Để ba điểm A,B,C thẳng hàng thì: \frac{1-a}{-3}= \frac{-3}{-1} \Leftrightarrow a=10.

Vậy để a=10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với A(1;0);B(2;1);C(0;1). Tính góc \widehat {BAC}.

Hướng dẫn giải

Ta có: \overrightarrow {AB}=(1;1) và \overrightarrow {AC}=(-1;1).

\cos (\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC})= \frac{{1.(-1) + 1.1}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {(-1){^2} + {1^2}} }}=0. Suy ra góc \widehat {BAC}=90^{\circ}.

Ví dụ 5: Cho tam giác MNP với M(1;2),N(3;4),P(-5;6). Tính tích vô hướng \overrightarrow {MN}.\overrightarrow {NP}.

Hướng dẫn giải

Ta có: \overrightarrow {MN}=(2;2) và \overrightarrow {NP}=(-8;2).

Tích vô hướng \overrightarrow {MN}.\overrightarrow {NP}=2.(-8)+2.2=-12.

  • 4 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD