Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát là:

  • \Delta_1:a_1x+b_1y+c=0;
  • \Delta_2:a_2x+b_2y+c=0.

Phương pháp xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Xét tỉ số

  • Nếu \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2} thì \Delta_1 trùng với \Delta_2.
  • Nếu \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2} thì \Delta_1 song song với \Delta_2.
  • Nếu \frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2} thì \Delta_1 cắt \Delta_2.

Nhận xét: 

  • \Delta_1 và \Delta_2 song song hoặc trùng nhau \Leftrightarrow \overrightarrow n_1 và \overrightarrow n_2 cùng phương \Leftrightarrow \overrightarrow u_1 và \overrightarrow u_2 cùng phương.
  • \Delta_1 và \Delta_2 cắt nhau \Leftrightarrow \overrightarrow n_1 và \overrightarrow n_2 không cùng phương \Leftrightarrow \overrightarrow u_1 và \overrightarrow u_2 không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a. \Delta_1:2x+y+1 =0 và \Delta_2:6x+3y+3 =0.

b. \Delta_1:x-2y+1 =0 và \Delta_2:-3x+3y+1 =0.

c. \Delta_1:x-3y+5 =0 và \Delta_1:2x-6y+1 =0.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: \frac26=\frac13=\frac13 nên \Delta_1 và \Delta_2 trùng nhau.

b. Ta có: \dfrac{1}{-3}\neq \frac{-2}{3} nên \Delta_1 và \Delta_2 cắt nhau.

c. Ta có: \frac12=\frac{-3}{-6}\neq \frac51 nên \Delta_1 và \Delta_2 song song.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng: 

  • \Delta_1:a_1x+b_1y+c=0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n_1(a_1;b_1);
  • \Delta_2:a_2x+b_2y+c=0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n_2(a_2;b_2).

Gọi \varphi là góc tạo bởi hai đường thẳng \Delta_1 và \Delta_2.

Khi đó: 

\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}= \dfrac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}

Chú ý: Có thể thay thế cặp vectơ pháp tuyến \overrightarrow n_1;\overrightarrow n_2 trong công thức trên bằng cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow u_1;\overrightarrow u_2.

Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng \Delta_1: - \sqrt 3 x + y + 3 = 0 và \Delta_1: x + \sqrt 3 y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của \Delta_1 và \Delta_2 lần lượt là: \overrightarrow n_1 (-\sqrt3;1) và \overrightarrow n_2(1;\sqrt3).

Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng \Delta_1 và \Delta_2. Ta có:

\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}= \dfrac{{\left| {{-\sqrt3}.{1} + {1}.{\sqrt3}} \right|}}{{\sqrt {{({-\sqrt3}})^2 + {1}^2} .\sqrt {{1}^2 + ({\sqrt3})^2} }} =0

Do đó, góc giữa hai đường thẳng \Delta_1 và \Delta_2 là \varphi=30^\circ.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M(x_0;y_0) đến đường thẳng \Delta:ax+by+c=0 được tính theo công thức:

d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A(1;2) đến đường thẳng \Delta: 3x-4y-1=0.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có:

d(A,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}=\frac{{\left| {3.{1} -4 .{2} -1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {(-4)^2}} }} =\frac{-6}{5}

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \Delta là \frac{-6}{5}.

Câu trắc nghiệm mã số: 8289,8290,8291,8292,8298,8299,8300,8301,8323,8324,8326,8327,8338,8339,8336
  • 5 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD