Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

1. Giá trị lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành có bán kính R=1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Với mỗi góc \alpha (0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \widehat {xOM} = \alpha và điểm M có tọa độ M(x_0;y_0). Khi đó:

  • \sin của góc \alpha là y_0, kí hiệu \sin \alpha = {y_0}.
  • côsin của góc \alpha là x_0, kí hiệu \cos \alpha =x_0.
  • tang của góc \alpha là \frac{y_0}{x_0} (x_0 \neq 0), kí hiệu \tan \alpha = \frac{y_0}{x_0}.
  • côtang của góc \alpha là \frac {x_0}{y_0} (y_0 \neq 0), kí hiệu \cot \alpha = \frac {x_0}{y_0}.

Các số \sin \alpha ; \cos \alpha; \tan \alpha ; \cot \alpha là các giá trị lượng giác của góc \alpha.

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác bù nhau

  • \sin \alpha = \sin (180^{\circ} -\alpha)
  • \cos \alpha = -\cos (180^{\circ} -\alpha)
  • \tan \alpha = -\tan (180^{\circ} -\alpha)
  • \cot \alpha = -\cot (180^{\circ} -\alpha)

Ví dụ: Đơn giản hóa các biểu thức sau:

a) \sin 110^{\circ} +\cos 50^{\circ} -\sin70^{\circ} +\cos130^{\circ};

b) -2\sin (180^{\circ} -\beta).\cot \beta + 3\cos \beta +\cos(180^{\circ} -\beta).

Hướng dẫn giải

a) \sin 110^{\circ} +\cos 50^{\circ} -\sin70^{\circ} +\cos130^{\circ}= (\sin 110^{\circ} -\sin70^{\circ}) +(\cos130^{\circ}+\cos 50^{\circ})= (\sin (180^\circ - 110^{\circ}) -\sin70^{\circ})+(\cos130^{\circ}-\cos (180^{\circ} -50^{\circ}))=(\sin 70^{\circ} -\sin 70^{\circ} )+(\cos 130^{\circ} -\cos 130^{\circ} )=0.

b) -2\sin (180^{\circ} -\beta).\cot \beta + 3\cos \beta +\cos(180^{\circ} -\beta)=-2\sin \beta.\cot \beta + 3\cos \beta -\cos\beta-2\sin \beta. \frac {\cos\beta} {\sin \beta} + 3\cos \beta -\cos\beta =-2\cos\beta + 3\cos \beta -\cos\beta=0.

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Chú ý: Trong bảng trên, kí hiệu || để chỉ các giá trị lượng giác không xác định.

 

Ví dụ: Cho góc \alpha (0^{\circ} < \alpha <180^{\circ}) thỏa mãn \tan \alpha =2. Hãy tính giá trị biểu thức S= \frac {3\sin\alpha +2\cos\alpha}{2\sin\alpha -3\cos\alpha}.

Hướng dẫn giải

Vì \tan \alpha =\frac {\sin\alpha}{\cos\alpha} nên:

Chia cả tử cả mẫu cho \cos\alpha, ta được: S= \frac {3\tan\alpha +2}{2\tan\alpha -3}= \frac {3.2+2}{2.2 -3}=8.

 

4. Định lý côsin trong tam giác 

Cho tam giác ABC có AB=a,BC=c,AC=b, ta có:

  • a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
  • b^2=a^2+c^2-2ac\cos B
  • c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

Hệ quả

  • \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
  • \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}
  • \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có \hat{A} =120^{\circ} và AB=3,AC=4. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A=3^2+4^2-2.3.4.\cos 60^{\circ} =13

Suy ra BC=\sqrt{13}.

 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có a=19,b=6,c=15. Tính giá trị góc \hat A. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ quả của định lý côsin cho tam giác ABC:

\cos A= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6^2+15^2-19^2}{2.6.15}=-\frac59

Suy ra \hat A\approx 123,75^{\circ}.

2. Định lý sin trong tam giác

Cho tam giác ABC có AB=c,BC=a,CA=b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \hat A=120^{\circ} ,\hat C=45^{\circ} ,b=6. Tính số đo góc \hat B, độ dài a,c,R. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Hướng dẫn giải

Ta có: \hat B=180^{\circ} -(\hat A+\hat C)=180^{\circ}-(120^{\circ} +45^{\circ} )=15^{\circ}

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:

\frac{a}{\sin 120^{\circ} }=\frac 6{\sin 15^{\circ}}=\frac c{\sin45^{\circ}}=2R

Suy ra: a=\sin 120^{\circ} .\frac 6{\sin 15^{\circ} } \approx 20,08c=\sin 45^{\circ} .\frac 6{\sin 15^{\circ} } \approx 16,39

R=\frac 6{2\sin 15^{\circ} }\approx 11,59.

 

  • 37 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD