Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b. Lấy một điểm A rồi xác định các điểm B,C sao cho \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {b}. Khi đó vectơ \overrightarrow {AC} được gọi là tổng của hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b.

  • Kí hiệu: \overrightarrow {AC}=\overrightarrow a+\overrightarrow b.
  • Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Tính chất:

  • Tính chất giao hoán: \overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow b+\overrightarrow a .
  • Tính chất kết hợp: (\overrightarrow a+\overrightarrow b)+\overrightarrow c=\overrightarrow a+(\overrightarrow b+\overrightarrow c) .
  • Tính chất của vectơ - không: \overrightarrow a +\overrightarrow 0=\overrightarrow a .

Các quy tắc quan trọng

  • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A,B,C ta có: \overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}.
  • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC}.

Ghi nhớ

  • Nếu M là trung điểm AB thì \overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}=\overrightarrow 0.
  • Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow 0.

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD với AB=a,AD=2a. 

a) Tính độ dài vectơ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}.

b) Tính độ dài vectơ \overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {AB}.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành: \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC} nên \left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD} \right | =\left | \overrightarrow {AC} \right |.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC, ta có: AC=a\sqrt5.

Vậy \left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD} \right | =\left | \overrightarrow {AC} \right |=a\sqrt5.

b) Áp dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành: \overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {AB}=(\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC})+\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AB} =\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AC}.

Do đó: \left | \overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {AB} \right | =\left | \overrightarrow {AC} \right | =a\sqrt5.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 1. Tính \left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \right |.

Hướng dẫn giải

Lấy D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình bình hành. Vì AB=AC nên suy ra ABDC là hình thoi. Gọi tâm hình thoi là O.

Áp dụng quy tắc hình bình hành: \left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {AD} \right | =AD=2AO .

Xét tam giác vuông AOB, ta có: AO^2=AB^2-BO^2 \Leftrightarrow AO^2=1^2-(\frac12)^2\Leftrightarrow AO=\frac{\sqrt3}2 .

Suy ra: \left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {AD} \right | =AD=2AO=\frac{\sqrt3}2.2=\sqrt3 .

2. Hiệu của hai vectơ

  • Hiệu hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b, kí hiệu là \overrightarrow a - \overrightarrow b, là tổng của vectơ \overrightarrow a và vectơ đối của vectơ \overrightarrow b, tức là \overrightarrow a - \overrightarrow b=\overrightarrow a+ (-\overrightarrow b) .
  • Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.

Quy tắc về hiệu vectơ

  • Nếu \overrightarrow {MN} là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta luôn có: \overrightarrow {MN}=\overrightarrow {ON}-\overrightarrow {OM} .

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=1,AC=2. Tính độ dài vectơ \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc hiệu của hai vectơ: \left | \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {CB} \right | =CB .

Áp dụng định lý Py-ta-go: BC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.

Vậy \left | \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {CB} \right | =CB =\sqrt5 .

  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD