Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

  • Cho hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v khác \overrightarrow 0. Đặt \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u;\overrightarrow {AC}=\overrightarrow v .
  • Khi đó, góc giữa hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v chính là góc \widehat {BAC}.
  • Kí hiệu: (\overrightarrow u;\overrightarrow v)=\widehat {BAC} .

Chú ý:

  • Nếu (\overrightarrow u;\overrightarrow v)=90^{\circ} thì ta nói hai vectơ này vuông góc với nhau. Kí hiệu: \overrightarrow u\perp \overrightarrow v .
  • Vectơ \overrightarrow 0 vuông góc với mọi vectơ.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow u và \overrightarrow v là một số, kí hiệu là \overrightarrow u.\overrightarrow v, được xác định bởi công thức:

\overrightarrow u.\overrightarrow v=|\overrightarrow u|.|\overrightarrow v|.\cos (\overrightarrow u;\overrightarrow v)

Chú ý:

  • \overrightarrow u\perp \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u.\overrightarrow v=0 .
  • \overrightarrow u.\overrightarrow u còn được viết là \overrightarrow {u}^2, còn gọi là bình phương vô hướng của vectơ \overrightarrow u. Ta có: \overrightarrow u^2=|\overrightarrow u|^2 .

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ \overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w và mọi số thực k, ta có:

  • \overrightarrow u.\overrightarrow v=\overrightarrow v.\overrightarrow u
  • \overrightarrow u(\overrightarrow v+\overrightarrow w)=\overrightarrow u.\overrightarrow v+\overrightarrow u.\overrightarrow w
  • (k\overrightarrow u).\overrightarrow v=k(\overrightarrow u.\overrightarrow v)=\overrightarrow u.(k\overrightarrow v)

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Tính tích vô hướng \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} và \overrightarrow {AB}. \overrightarrow {BC}.

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Góc giữa hai vectơ \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {AC} là góc \widehat {BAC}=60^{\circ}.

Ta có: \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}=AB.AC.\cos A =1.1.\cos 60^{\circ} =\frac12 .

Nhận xét: Góc giữa hai vectơ \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {BC} là góc 120^{\circ}.

Ta có: \overrightarrow {AB}. \overrightarrow {BC}=AB.BC.\cos 120^{\circ} =-\frac12 .

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a và có tâm O. Tính các tích vô hướng:

a) \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}

b) \overrightarrow {OA}.\overrightarrow {CB}

Hướng dẫn giải

 Hình vuông cạnh bằng a nên đường chéo CA=a\sqrt2 (Pytago trong tam giác CAB).

Do đó CO=\frac 12CA=\frac {a\sqrt2}2.

a) Ta có: \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB} =AC.AB.\cos \widehat{BAC}=a\sqrt2.a.\cos45^{\circ} =a^2.

b) Ta có: \overrightarrow {OA}.\overrightarrow {CB} =\overrightarrow {CO}.\overrightarrow {CB}=CO.CB.\cos \widehat{BOC}=\frac {a\sqrt2}2.a.\cos 45^{\circ} =\frac{a^2}2.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AH}

b) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{CB}

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AH}=(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}).\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AH} =\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AH} do \overrightarrow {BC}.\overrightarrow {AH}=0 vì BC\perp AH.

b) Ta có: \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}).\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{CB} do \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0 vì AH \perp CB.

  • 5 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD