Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

  • Vectơ \overrightarrow u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu \overrightarrow u có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.
  • Vectơ \overrightarrow u được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu \overrightarrow u có giá vuông góc với đường thẳng d.

Nhận xét:

  • Một đường thẳng được xác định khi biết 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương hoặc 1 điểm và 1 vectơ pháp tuyến.
  • Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, chúng cùng phương với nhau. (Tức là nếu \overrightarrow u là một vectơ chỉ phương thì k\overrightarrow u (k\neq0) cũng là một vectơ chỉ phương).
  • Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, chúng cùng phương với nhau . (Tức là nếu \overrightarrow n là một vectơ pháp tuyến thì k\overrightarrow n(k\neq0) cũng là một vectơ pháp tuyến).
  • Nếu \overrightarrow u(a;b) là một vectơ chỉ phương của d thì \overrightarrow n(-b;a) là một vectơ pháp tuyến của d.

 

Ví dụ: Cho hai điểm A(1;0) và B(-1;3). Tìm một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có: \overrightarrow {AB}( -2;3) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Vì \overrightarrow {AB}( -2;3)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Suy ra \overrightarrow n_{AB}=(3;2) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

 

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x_0;y_0) và nhận vectơ \overrightarrow n(a;b)\neq\overrightarrow0 làm vectơ pháp tuyến. Khi đó, phương trình tổng quát của d  có dạng:

a(x-x_0)+b(y-y_0)=0

Nếu đặt c=-ax_0-by_0 thì phương trình tổng quát còn được viết dưới dạng ax+by+c=0.

Nhận xét:

  • Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax+by+c=0 và một điểm A(x_0;y_0). Khi đó: Điểm A thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi ax_0+by_0+c=0. (thay tọa độ A vào phương trình tổng quát thỏa mãn)

 

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho \overrightarrow n(2;3) và A(1;2);B(-1;1). 

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và nhận \overrightarrow n là vectơ pháp tuyến.

b. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(1;2) và nhận \overrightarrow n(2;3) là vectơ pháp tuyến có dạng:

2(x-1)+3(y-2)=0 \Leftrightarrow 2x+3y-8=0.

b. Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \overrightarrow {AB}( -2;-1)\Rightarrow \overrightarrow n_{AB}=(1;-2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua A(1;2) và nhận \overrightarrow n_{AB}=(1;-2) là vectơ pháp tuyến có dạng:

1(x-1)-2(y-2)=0\Leftrightarrow x-2y-5=0.

 

3. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x_0;y_0) và nhận vectơ \overrightarrow u(a;b)\neq\overrightarrow0làm vectơ chỉ phương. Khi đó, phương trình tham số của d là:

d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right. (t\in\mathbb{R})

 

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho \overrightarrow u(1;-1) và hai điểm M(-2;2);N(-3;0). 

a. Lập phương trình tham số của đường thẳng \Delta đi qua M và nhận \overrightarrow u(1;-2) là vectơ chỉ phương.

b. Lập phương trình tham số của đường thẳng MN.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta đi qua M(-2;2) và nhận \overrightarrow u(1;-2) là vectơ chỉ phương có dạng là:

d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2 + t}\\ {y = 2 - 2t} \end{array}} \right. (t\in\mathbb{R})

b. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN là \overrightarrow {MN}(-1;-2).

Phương trình tham số của đường thẳng MN đi qua điểm M(-2;2) và nhận \overrightarrow {MN}(-1;-2) là vectơ chỉ phương có dạng là:

MN:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2 - t}\\ {y = 2 - 2t} \end{array}} \right. (t\in\mathbb{R})

Câu trắc nghiệm mã số: 8269,8270,8271,8272,8279,8280,8282,8283,8893,8894
  • 7 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD