Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Hoán vị. Chỉnh hợp

1. Hoán vị

  • Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n\ge 1).
  • Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức:

{{P}_{n}}=n!

  • Quy ước: 0!=1

Để tính n!, ta ấn phím theo trình tự sau:

Ấn số n, ấn phím và ấn phím rồi ấn dấu =.

Ví dụ: Tính 8!

Ta ấn lần lượt như hình vẽ:

Kết quả: 8!=40320.

 

Ví dụ 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Hướng dẫn giải

Số cách sắp xếp 5 người vào 5 chỗ chính là số các hoán vị của tập hợp có 5 phần tử.

Ta có: {{P}_{5}}=5!=120 (cách).

Vậy có 120 cách sắp xếp 5 người vào băng ghế 5 chỗ.

 

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1;2;3;4 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải

Gọi số có bốn chữ số khác nhau là: \overline{ABCD}.

Từ các chữ số ban đầu, lập các số có dạng \overline{ABCD} chính là việc sắp xếp 4 chữ số vào 4 vị trí A,B,C,D.

Số các hoán vị của tập hợp có 4 phần tử là: {{P}_{4}}=4!=24 (cách).

Vậy từ các chữ số 1;2;3;4 có thể lập được 24 số có bốn chữ số khác nhau.

 

2. Chỉnh hợp

  • Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1\le k\le n).
  • Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là A_{n}^{k}, được tính bằng công thức:

A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}\,\,(1\le k\le n)

Chú ý:

  • Hoán vị sắp xếp hết tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một phần nhỏ và sắp xếp chúng.
  • Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Hay {{P}_{n}}=A_{n}^{n}.

 

Để tính A_{n}^{k}, ta ấn các phím theo trình tự sau:

Ấn số n, ấn phím , ấn số k, rồi ấn dấu =.

Ví dụ: Tính A_{3}^{2}.

Ta ấn lần lượt như hình vẽ:

Kết quả: A_{3}^{2}=6.

Ví dụ 1: Có 10 học sinh đủ điều kiện làm ban cán sự của lớp. Cần chọn ra 3 người để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh để sắp xếp vào 3 vai trò lớp trưởng, lớp phó, bí thư là một chỉnh hợp chập 3 của 10.

Vậy số cách chọn là A_{10}^{3}=720 (cách).

 

Ví dụ 2: Cho tập A=\{1;2;3;4;5\}. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A.

Hướng dẫn giải

Gọi số có ba chữ số đôi một khác nhau là: \overline{ABC}.

Mỗi cách chọn 3 số từ 5 số của tập A rồi sắp xếp vào 3 vị trí A,B,C là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Vậy số cách chọn là A_{5}^{3}=60 (cách).

Vậy có 60 số số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A.

 

  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CD