Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

A. Elip

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F_1, F_2 với F_1F_2 = 2c và một độ dài không đổi 2a (0 < c < a). Elip (E) là tập hơp tất cả các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn MF_1 + MF_2 = 2a. Ta gọi:

F_1, F_2: Tiêu điểm của elip.

F_1F_2 = 2c: Tiêu cự của elip.

MF_1, MF_2: Bán kính qua tiêu

Hình vẽ minh họa

Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

2. Phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip

\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1

Trong đó {a^2} = {b^2} + {c^2}.

3. Hình dạng của elip

Hình vẽ minh họa

Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

a) Trục đối xứng của elip

Elip có phương trình \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b) Hình chữ nhật cơ sở

Vẽ qua A_1 và A_2 hai đường thẳng song song với trục tung, vẽ qua B_1 và B_2 hai đường thẳng song song với trục hoành. Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật PQRS.

Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip.

Từ đó suy ra:

  • Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó, bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
  • Các điểm: A_1(−a; 0); A_2(a; 0); B_1(0;−b); B_2(0;b) gọi là các đỉnh của elip.
  • A_1A_2 = 2a: Độ dài trục lớn.
  • B_1B_2 = 2b: Độ dài trục bé.

c) Tâm sai của elip

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e tức là e = \frac{c}{a}.

  • Nếu tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đường elip càng “béo”.
  • Nếu tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số \frac{b}{a} càng gần tới 1 và hình chữ nhật cơ sở càng “dẹt”, do đó đường elip càng “gầy”.

Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Hướng dẫn giải

Ta có: a^2 = 25, b^2 = 16. Do đó c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3.

Vậy elip có hai tiêu điểm là {F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right) và tiêu cự là {F_1}{F_2} = 2c = 6.

Ta có a = \sqrt {25} = 5, nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.

B. Hypebol

Định nghĩa

Cho hai điểm F_1, F_2 và một độ dài không đổi 2a  nhỏ hơn F_1F_2 Hypebol  là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \left| {{F_1}M - {F_2}M} \right| = 2a.

Các điểm F_1, F_2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài F_1F_2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol (c> a).

Hình vẽ minh họa

Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Phương trình chính tắc của hypebol

Phương trình chính tắc của hypebol

\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1

Trong đó {a^2} = {b^2} + {c^2}.

Hình vẽ minh họa

Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Chú ý

  • (H) cắt Ox tại hai điểm A_1(-a, 0) và A_2(a, 0). Nếu vẽ hai điểm B_1(-b, 0) và B_2(b, 0) vào hình chữ nhật OA_2PB_2 thì OP = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = c
  • Các điểm A_1, A_2 gọi là các đỉnh của hypebol.
  • Đoạn thẳng A_1A_2 là trục thực.
  • Đoạn thẳng B_1B_2 là trục ảo.
  • Giao điểm B_1B_2 của hai trục gọi là tâm đối xứng của hypebol.
  • Nếu M\left( {x,y} \right) \in \left( H \right) thì \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant - a} \\ {x \geqslant a} \end{array}} \right.

Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có {a^2} = 9,{b^2} = 16 nên c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right) và có tiêu cự 2c = 10.

Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6.

C. Parabol

Định nghĩa

Cho một điểm F và đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Parabol (P) là tập hợp các điểm  cách đều F và ∆.

F gọi là tiêu điểm và ∆ gọi là đường chuẩn của parabol.

Phương trình chính tắc của parabol

Gọi p là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p

Phương trình chính tắc của parabol:

{y^2} = 2px

Chú ý

O là đỉnh của (P)

Ox là trục đối xứng của (P)

p gọi là tham số tiêu của parabol (P)

Nếu M\left( {x,y} \right) \in \left( P \right) thì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {M'\left( {x, - y} \right) \in \left( P \right)} \end{array}} \right.

Ví dụ: Cho parabol (P): {y^2} = x.

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \Delta của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2p = 1 nên p = \frac{1}{2}.

Parabol có tiêu điểm F\left( {\frac{1}{4};0} \right) và đường chuẩn \Delta :x = - \frac{1}{4}

b) Điểm M\left( {{x_0};{y_0}} \right) thuộc (P) có khoảng các tới F bằng 3 khi và chỉ khi {y_0}^2 = {x_0} và MF = 3.

Do  MF=d\left( {M,\Delta } \right) nên d\left( {M,\Delta } \right) = 3

Mặt khác \Delta :x + \frac{1}{4} = 0 và {x_0} = {y_0}^2 \ge 0 nên 3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}.

Vậy {x_0} = \frac{{11}}{4},{y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2},{y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}.

Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là \left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right) và \left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right).

  • 73 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST