Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Dấu của tam thức bậc hai sách CTST

1. Tam thức bậc hai

Định nghĩa

Đa thức bậc hai f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c với a, b, c là hệ số, a \ne 0 và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

  • Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm của phương trình bậc hai a{x^2} + bx + c = 0.
  • Biểu thức \Delta = {b^2} - 4ac,\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac lần lượt là biệt thức và biểu thức thu gọn của f(x).

Cho tam thức bậc hai f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c, a \ne 0. Khi thay x bằng giá trị x_0 vào f(x), ta được f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c, gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x_0.

  • Nếu f\left( {{x_0}} \right) > 0 thì ta nói f(x) đương tại x_0.
  • Nếu f\left( {{x_0}} \right) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x_0.
  • Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

Ví dụ: f\left( x \right) = - {x^2} + 3x + 4;f\left( x \right) = 5{x^2} - x;...

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right). Đặt \Delta = {b^2} - 4ac

Nếu \Delta < 0 thì a.f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}

Nếu \Delta = 0 thì a.f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} và f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{b}{{2a}}

Nếu \Delta > 0 thì f\left( x \right) có hai nghiệm phân biệt {x_1} < {x_2} và 

  • a.f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ,{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}, + \infty } \right)
  • a.f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)

Chú ý

a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định đâu của biệt thức \Delta.

Bước 2: Xác định nghiệm của f\left( x \right) (nếu có).

Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a.

Bước 4: Xác định dâu của f\left( x \right).

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \Delta ' thay cho biệt thức \Delta.

Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc hai f\left( x \right) = {x^2} - 5x - 6

Hướng dẫn giải

Ta có: f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 6} \end{array}} \right.

Do a > 0 nên

f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {6, + \infty } \right)

f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;6} \right)

3. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn mang một dấu

Cho tam thức bậc hai f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)

  • f(x) > 0 vô nghiệm \Leftrightarrow f\left( x \right) \leqslant 0 nghiệm đúng với \forall x \in \mathbb{R}.

Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.

  • f(x) < 0 vô nghiệm \Leftrightarrow f\left( x \right) \geqslant 0 nghiệm đúng với \forall x \in \mathbb{R}.

Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.

  • f(x) \geqslant 0 vô nghiệm \Leftrightarrow f\left( x \right) < 0 nghiệm đúng với \forall x \in \mathbb{R}.

Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.

  • f(x) \leqslant 0 vô nghiệm \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0 nghiệm đúng với \forall x \in \mathbb{R}.

Nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.

Ví dụ: Cho f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2} \right) - 2\left( {m + 1} \right)x + 1. Tìm các giá trị của tham số m để f(x) luôn dương với mọi x.

Hướng dẫn giải

Để f(x) luôn dương với mọi x

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta ' < 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 2 > 0} \\ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) < 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 2 > 0} \\ {2m - 1 < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 27611,27610,27608,27604,27603
Luyện Bài tập vận dụng
  • 28 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST