Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tích của một số với một vectơ sách CTST

A. Tích của một vectơ với một số

Định nghĩa

Cho số k \ne 0 và \overrightarrow a \ne \overrightarrow 0. Tích của vectơ \overrightarrow a với số k là một vectơ, kí hiệu là k\overrightarrow a được xác định như sau:

  • k\overrightarrow a cùng phương với \overrightarrow a
  • k\overrightarrow a cùng hướng với \overrightarrow a khi k > 0
  • k\overrightarrow a ngược hướng với \overrightarrow a khi k < 0
  • \left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|

Quy ước: 0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0

B. Tính chất

Tính chất 1

Cho \overrightarrow a và \overrightarrow b bất kì k,h \in \mathbb{R}, khi đó:

  • k.\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k.\overrightarrow a + k.\overrightarrow b
  • \left( {k + h} \right).\overrightarrow a = k.\overrightarrow a + h.\overrightarrow b
  • k.\left( {h.\overrightarrow a } \right) = \left( {k.h} \right).\overrightarrow a
  • 1.\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\left( { - 1} \right).\overrightarrow a = - \overrightarrow a

Ví dụ: Cho vectơ \overrightarrow u = - 2.\overrightarrow a + 5.\overrightarrow b. Tìm vectơ đối của \overrightarrow u.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vectơ đối của vectơ \overrightarrow u = - 2.\overrightarrow a + 5.\overrightarrow b là vectơ \overrightarrow v = - \left( { - 2.\overrightarrow a + 5.\overrightarrow b } \right) = 2.\overrightarrow a - 5.\overrightarrow b

Tính chất 2 (Tính chất trung điểm)

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với mọi M ta có: 

\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2.\overrightarrow {MI}

Tính chất 3 (Tính chất trọng tâm tam giác)

Cho G là trọng tâm tam giác  ABC với mọi điểm M ta có:

\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3.\overrightarrow {MG}

Ví dụ: Cho tam giác ABC trọng tâm G. Chứng minh rằng \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} = - 3\overrightarrow {AG}

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: G là trọng tâm tam giác

=> \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = 3.\overrightarrow {AG}

=> \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} = - 3.\overrightarrow {AG}

C. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện

Hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b ,\left( {\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 } \right) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho \overrightarrow a = k.\overrightarrow b.

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b không cùng phương. Khi đó với mọi vectơ \overrightarrow u ta luôn tìm được duy nhất cặp số m, n sao cho \overrightarrow u = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b.

Ví dụ: Cho tam giác ABC trọng tâm G. Phân tích vectơ \overrightarrow {AG} theo hai vectơ \overrightarrow {AB} và \overrightarrow {AC}.

Hướng dẫn giải

Giả sử M là trung điểm của BC

=> \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}

Mà \overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}

=> \overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}.\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}

Câu trắc nghiệm mã số: 21362,21363,21364
Luyện Bài tập vận dụng
  • 79 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST