Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ sách CTST

1. Giá trị lượng giác

Định nghĩa

Với mỗi góc $\alpha$ , $({0^o} \le \alpha \le {180^o})$ có duy nhất điểm $M({x_0};{y_0})$ trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat {xOM} = \alpha$ . Khi đó:

$\sin \alpha = {y_0}$ là tung độ của $M$
$\cos \alpha = {x_0}$ là hoành độ của $M$
$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}},(x_0 \ne 0)$
$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}},(y_0 \ne 0)$

Chú ý

Nếu $\alpha$ là góc nhọn thù các giá trị lượng giác của $\alpha$ đều dương.
Nếu $\alpha$ là góc tù thì $\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha > 0$
$\tan \alpha$ chỉ xác định khi $\alpha \ne {90^0}$
$\cot \alpha$ chỉ xác định khi $\alpha \ne {0^0};\alpha \ne {180^0}$

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

a) Hai góc bù nhau

Với mọi góc $\alpha$ thỏa mãn ${{0^o} \leqslant \alpha \leqslant {{180}^o}}$

$\begin{array}{*{20}{l}} {\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha } \\ {\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha } \\ {\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o})} \\ {\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ,({0^o} < \alpha < {{180}^o})} \end{array}$

b) Hai góc phụ nhau

$\begin{array}{*{20}{l}} {\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha } \\ {\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha } \\ {\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha < {{180}^o})} \\ {\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha ,(\alpha \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha < {{180}^o})} \end{array}$

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $A = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi - x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = - \sin x \hfill \\ \cos \left( {2\pi - x} \right) = \cos x \hfill \\ \cos \left( {3\pi + x} \right) = - \cos x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow A = - \sin x + \cos x - \cos x = - \sin x \hfill \\ \end{matrix}$