Tập hợp sách CTST

1. Tập hợp và phần tử

Tập hợp (gọi tắt là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Ta thường dừng các chữ cái in hoa để kí hiệu cho tập hợp.

Cho tập hợp $A$ và phần tử $x$ .

Nếu $x$ có mặt trong tập $A$ ta nói x là một phần tử của tập $A$ hay $x$ thuộc $A$ , kí hiệu $x ∈ A$ hoặc $A \in x$ .
Nếu $x$ không có mặt trong tập $A$ ta nói $x$ không thuộc $A$ , kí hiệu $x ∉ A$ hoặc $A ∌ x$ .

Các tập hợp số

Tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N} = \{ 0;1;2;3;4;5;...\}$ (Kí hiệu $\mathbb{N}* = \mathbb{N}{\rm{\backslash }}\{ 0\}$ )
Tập hợp các số nguyên $\mathbb{Z} = \{ ...; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;...\}$
Tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q} = \left\{ {\frac{a}{b}|a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0} \right\}$
Tập hợp các số thực $\mathbb{R}$ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

2. Cách xác định tập hợp

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp.

Chú ý

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:

a) Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý. Chẳng hạn, để viết tập hợp $A$ các nghiệm của phương trình $x\left( {x - 1} \right) = 0$ , ta có thể viết $A = \left\{ {0;1} \right\}$ hoặc $A = \left\{ {1;0} \right\}$ .

b) Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần. Chẳng hạn, nếu kí hiệu $B$ là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ “mathematics” thì $B = \left\{ {m,a,t,h,e,i,c,s} \right\}$ .

c) Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng …” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Ví dụ: Liệt kê các phần tử của tập hợp $A$ các số chính phương không vượt quá $50$ .

Hướng dẫn giải

Các phần tử của tập hợp $A = \left\{ {0;1;4;9;16;25;36;49} \right\}$

b) Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Ví dụ: Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.

a) $A = \left \{ 0; 4; 8; 12; 16; ...; 52 \right \}$

b) $B = \left \{ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 \right \}$

c) $C = \left \{ −2; 4; −8; 16; −32; 64 \right \}$

Hướng dẫn giải

a) $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|0 \leqslant x \leqslant 16{\text{ và }}x \vdots 4} \right\}$

b) $B = \left\{ {x \in {\mathbb{N}^*}|x \leqslant 9} \right\}$

c) $C = \left\{ {x = {{\left( { - 2} \right)}^n}|n \in \mathbb{N},1 \leqslant n \leqslant 6} \right\}$

3. Tập con. Hai tập hợp bằng nhau

Định nghĩa Tập hợp rỗng

Tập hợp rỗng, kí hiệu là $\varnothing$ , là tập hợp không chứa phần tử nào.

Qui ước: $\varnothing ⊂ A$ với mọi tập hợp $A$ .

Định nghĩa Tập con

Tập hợp $A$ gọi là tập con của tập hợp $B$ , kí hiệu $A ⊂ B$ nếu mọi phần tử của tập hợp $A$ đều thuộc $B$ .

Với kí hiệu đó, ta có $A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x,{\text{ }}x \in A \Rightarrow x \in B} \right)$

Ví dụ: Tìm tất cả các tập con có 2 phần tử của tập $A = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}$ .

Hướng dẫn giải

Các tập hợp con của tập hợp $A$ là: $\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {1;5} \right\},$ $\left\{ {1;6} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {2;5} \right\},$ $\left\{ {4;5} \right\},\left\{ {4;{\text{ }}6} \right\},\left\{ {5;{\text{ }}6} \right\} ,$ $\left\{ {2;6} \right\},\left\{ {3;4} \right\},\left\{ {3;5} \right\},\left\{ {3;6} \right\},$

Ví dụ: Xác định tập hợp $X$ biết $\left\{ {1,2} \right\} \subset X \subset \left\{ {1,2,5} \right\}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vì $\left\{ {1;2} \right\} \subset X$ nên tập hợp $X$ có chứa các phần tử $1; 2$ .

Vì $X \subset \left\{ {1;2;5} \right\}$ nên các phần tử của tập hợp $X$ có thể là $1; 2; 5$ .

Khi đó tập hợp $X$ có thể là $\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;2;5} \right\}$

Chú ý

Ta có quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số như sau:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Định nghĩa hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp $A$ và $B$ gọi là bằng nhau, kí hiệu $A = B$ nếu mỗi phần tử của $A$ là một phần tử của B và ngược lại.

Với định nghĩa đó, ta có $A = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A \subset B} \\ {B \subset A} \end{array}} \right.{\text{ }}$

Tính chất

a) $\varnothing ⊂ A$ , với mọi $A$ .

b) $A ⊂ A$ , với mọi $A$ .

c) Nếu $A ⊂ B$ và $B ⊂ A$ thì ta nói $A$ và $B$ là quan hệ bao hàm.

d) Nếu $A ⊂ B$ và $B ⊂ C$ thì $A ⊂ C$ .

Ví dụ: Cho ba tập hợp $A = \left\{ {2;5} \right\},B = \left\{ {x;5} \right\}$ và $C = \left\{ {x;{\text{ }}y;5} \right\}$ . Tìm các giá trị của $x, y$ sao cho $A = B = C$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = B ⇔ x = 2$ .

Khi $x = 2$ , ta có $C = \left\{ {2;y;5} \right\}$ .

Khi đó, ta có $\left\{ {2;y;5} \right\} \subset \left\{ {2;5} \right\}$ và $\left\{ {2;y;5} \right\} \supset \left\{ {2;5} \right\}$ .

Từ đây, suy ra hoặc $y = 5$ .

Vậy $(x; y) = (2; 2)$ hoặc $(x; y) = (2; 5)$ thỏa yêu cầu bài toán.

5. Một số tập con của tập số thực

Tên gọi	Kí hiệu	Tập hợp	Biểu diễn trên trục số
Tập số thực	$\left( { - \infty ; + \infty } \right)$	$\mathbb{R}$
Đoạn	$\left[ {a;b} \right]$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|a \leqslant x \leqslant b} \right\}$
Khoảng	$\left( {a;b} \right)$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|a < x < b} \right\}$
Nửa khoảng	$\left( {a;b} \right]$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|a < x \leqslant b} \right\}$
Nửa khoảng	$\left[ {a;b} \right)$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|a \leqslant x < b} \right\}$
Nửa khoảng	$\left( { - \infty ;a} \right]$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|x \leqslant a} \right\}$
Nửa khoảng	$\left[ {a; + \infty } \right)$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|x \geqslant a} \right\}$
Khoảng	$\left( { - \infty ;a} \right)$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|x < a} \right\}$
Khoảng	$\left( {a; + \infty } \right)$	$\left\{ {x \in \mathbb{R}\|x > a} \right\}$