Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Định lí Cosin và định lí Sin sách CTST

1. Định lí cosin

Trong tam giác ABC với BC=a,CA=b,AB=c ta có:

\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}

Hệ quả

\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}

Ví dụ: Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7 và \cos A = 3/5. Tính cạnh a và cosin các góc còn lại của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \hfill \\ = 25 + 49 - 2.5.7.\dfrac{3}{5} = 32 \hfill \\ \Rightarrow a = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \hfill \\ \cos B = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}} = \dfrac{{32 + 49 - 25}}{{56\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{{32 + 25 - 49}}{{40\sqrt 2 }} = \dfrac{8}{{40\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}} \hfill \\ \end{matrix}

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC với BC=a,CA=b,AB=c ta có:

\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C

\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.

Ví dụ: Cho hình vẽ:

Định lí Cosin và định lí Sin

Biết: CC' = 1,3m. Tính độ dài đoạn thẳng CD

Hướng dẫn giải

Ta có CC' = 1,3m

Áp dụng định lý sin trong tam giác A’B’D ta được:

\begin{matrix} \dfrac{{B'D}}{{\sin \left( {{{180}^0} - \widehat {C'A'D}} \right)}} = \dfrac{{A'B'}}{{\sin \left( {{{180}^0} - \widehat {C'A'D} - {{35}^0}} \right)}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{B'D}}{{\sin {{131}^0}}} = \dfrac{{12}}{{\sin {{14}^0}}} \hfill \\ \Leftrightarrow B'D = \dfrac{{12.\sin {{131}^0}}}{{\sin {{14}^0}}} \hfill \\ \end{matrix}

Xét tam giác B’C’D ta có:

\begin{matrix} C'D = B'D.\cos {35^0} \hfill \\ \Leftrightarrow C'D = \dfrac{{12.\sin {{131}^0}}}{{\sin {{14}^0}}}.\cos {35^0} \hfill \\ \Leftrightarrow C'D \approx 30,7\left( m \right) \hfill \\ \end{matrix}

3. Các công thức tính diện tích tam giác

1)\ S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}

2)\ S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C

3)\ S = \frac{{abc}}{{4R}}

4)\ S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}

5)\ S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} (Công thức Heron)

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC, biết chu vi tam giác bằng 2p, các góc \widehat A = α^0, \widehat B = β^0.

Hướng dẫn giải

 Ta có: S = \frac{{abc}}{{4R}}

Theo định lí sin ta có:

abc = 8{R^3}\sin \widehat A.\sin \widehat B.\sin \widehat C

=> S = 2{R^2}\sin \widehat A.\sin \widehat B.\sin \widehat C

R = \frac{a}{{\sin \widehat A}} = \frac{b}{{\sin \widehat B}} = \frac{c}{{\sin \widehat C}}

\Rightarrow R = \frac{{a + b + c}}{{\sin \widehat A + \sin \widehat B + \sin \widehat C}}

\Rightarrow R = \frac{{2p}}{{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \left( {\pi - \alpha - \beta } \right)}}

\Rightarrow S = 2\left[ {\frac{{2p}}{{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}} \right]

Câu trắc nghiệm mã số: 21716,21718,21714
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST