Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu sách CTST

A. Số trung bình 

Định nghĩa

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu {x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n} kí hiệu là \overline x, được tính bằng công thức:

\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}

Chú ý

Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:

\overline x  = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + {m_3}{x_3} + ... + {m_n}{x_n}}}{n}

Trong đó {m_k} là tần số của giá trị {x_k}n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}

Ý nghĩa của số trung bình 

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

B. Trung vị

Định nghĩa

Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

{x_1} \leqslant {x_2} \leqslant {x_3} \leqslant ... \leqslant {x_n}

Trung vị của mẫu, kí hiệu là {M_e}, là giá trị chính giữa dãy {x_1};{x_2};{x_3};...;{x_n}, cụ thể:

Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị.

\begin{matrix}
  n = 2k + 1,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
   \Rightarrow {M_e} = {x_{k + 1}} \hfill \\ 
\end{matrix}

Nếu là số chẵn thì trung vị là số trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

\begin{matrix}
  n = 2k,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
   \Rightarrow {M_e} = \dfrac{1}{2}\left( {{x_k} + {x_{k + 1}}} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Ý nghĩa của trung vị

Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa.

Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

C. Tứ phân vị

Định nghĩa

Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

{x_1} \leqslant {x_2} \leqslant {x_3} \leqslant ... \leqslant {x_n}

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai và tứ phân vị thứ ba (kí hiệu lần lượt là {Q_1},{Q_2},{Q_3}). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thế:

  • Giá trị tứ phân vị thứ hai {Q_2} chính là  số trung vị của mẫu.
  • Giá trị tứ phân vị thứ nhất {Q_1} là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái {Q_2} (không bao gồm {Q_2} nếu n lẻ).
  • Giá trị tứ phân vị thứ ba {Q_3} là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải {Q_2} (không bao gồm {Q_2} nếu n lẻ).

Chú ý

  • {Q_1} được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, đại diện cho nửa mẫu số liệu chia phía dưới.
  • {Q_3} được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.

Ý nghĩa của tứ phân vị

Các điểm {Q_1},{Q_2},{Q_3} chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa khoảng 25% tổng số số liệu đã thu thập được.

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Ví dụ: Hàm lượng Kali (đơn vị mg) có trong 100g phân bón hóa học được cho như sau:

0

340

70

140

200

180

210

150

100

130

140

180

190

160

290

50

220

180

200

210

Hãy tìm tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gì?

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm ta được:

0

50

70

100

130

140

140

150

160

180

180

180

190

200

200

210

210

220

290

340

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hai số chính giữa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vì n = 20 là số chẵn nên {Q_2} là số trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.

\Rightarrow {Q_2} = \frac{1}{2}\left( {180 + 180} \right) = 180

Ta tìm {Q_1} là trung vị của nửa số liệu bên trái {Q_2}

0

50

70

100

130

140

140

150

160

180

 

 

 

 

Hai số chính giữa

 

 

 

 

\Rightarrow {Q_1} = \frac{1}{2}\left( {130 + 140} \right) = 135

Ta tìm {Q_3} là trung vị của nửa số liệu bên phải {Q_2}

180

180

190

200

200

210

210

220

290

340

 

 

 

 

Hai số chính giữa

 

 

 

 

\Rightarrow {Q_3} = \frac{1}{2}\left( {200 + 210} \right) = 205

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Nhận xét: Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ {Q_1} đến {Q_2} là 45 trong khi khoảng cách từ {Q_2} đến {Q_3} là 25.

Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung mật độ cao ở bên phải và mật độ thấp ở bên trái {Q_2}.

D. Mốt

Định nghĩa

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Chú ý

Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Ý nghĩa của mốt

Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Ví dụ: Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350

300

650

300

450

500

300

250

b) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36

38

33

34

32

30

34

35

Hướng dẫn giải

a) Số trung bình là: \overline x  = \frac{{30 + 32 + 33 + 34.2 + 35 + 36 + 38}}{8} = 34

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm

30

32

33

34

34

35

36

38

 

 

 

Hai số chính giữa

 

 

 

Trung vị là {M_e} = \frac{1}{2}\left( {34 + 34} \right) = 34

Mốt là 34

Tứ phân vị \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{Q_1} = 32,5} \\ 
  {{Q_2} = 34} \\ 
  {{Q_3} = 35,5} 
\end{array}} \right.

b) Số trung bình là: \overline x  = \frac{{250 + 300.3 + 350 + 450 + 500 + 650}}{8} = 387,5

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm

250

300

300

300

350

450

500

650

 

 

 

Hai số chính giữa

 

 

 

Trung vị là {M_e} = \frac{1}{2}\left( {300 + 350} \right) = 325

Mốt là 300

Tứ phân vị \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{Q_1} = 300} \\ 
  {{Q_2} = 325} \\ 
  {{Q_3} = 475} 
\end{array}} \right.

Câu trắc nghiệm mã số: 22003,22002,22001,22000
  • 160 lượt xem
Sắp xếp theo