Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Hàm số và đồ thị sách CTST

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

Định nghĩa

Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên, x \in D

Nếu với mỗi x \in D, ta xác định được y duy nhất (y \in \mathbb{R}) thì ta có một hàm số.

  • x là biến số, y là hàm số của x
  • D là tập xác định
  • T = \left\{ {y|x \in D} \right\} là tập giá trị của hàm số.
  • Ta thường kí hiệu f(x) là giá trị y tương ứng với x, nên hàm số thường viết là y = f(x)

Chú ý

  • Hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các x \in \mathbb{R} sao cho f(x) có nghĩa.
  • Một hàm số có thể được cho bởi hay nhiều công thức.

Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = x - \frac{2}{{x - 3}} b) y = x + \sqrt {x + 1}

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là: x - 3 \ne 0 có nghĩa là x \ne 3

Vậy tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}

b) Điều kiện để hàm số có nghĩa là: x + 1 \geqslant 0 có nghĩa là x \geqslant - 1

Vậy tập xác định của hàm số là 

2. Đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, Khi đó đồ thị (C) = \left\{ {M(x;f(x))|x \in D} \right\}

Điểm M({x_M};{y_M}) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} \in D\\{y_M} = f({x_M})\end{array} \right.

Đồ thị hàm số

Ví dụ: Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 2{\text{ khi }}x \leqslant 0} \\ {1 - 2{x^2}{\text{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.. Tính giá trị của f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 0 \right);f\left( { - 3} \right).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} f\left( 1 \right) = 3.1 - 2 = 1 \hfill \\ f\left( 2 \right) = 3.2 - 2 = 4 \hfill \\ f\left( 0 \right) = 1 - {2.0^2} = 1 \hfill \\ f\left( { - 3} \right) = 1 - 2.{\left( { - 3} \right)^2} = - 17 \hfill \\ \end{matrix}

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b)

  • Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) nếu:

\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})

\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right):{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} > 0

  • Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) nếu:

\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})

\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right):{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0

Quan sát đồ thị: trên khoảng (a;b)

  • Hàm số đồng biến (tăng) thì đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.
  • Hàm số nghịch biến (giảm) thì đồ thị có dạng đi xuồng từ trái sang phải.

Ví dụ: Dùng định nghĩa để chứng minh sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số:

a) y = 2x + 3 b) y = \frac{4}{{x + 1}} trên \left( { - 1; + \infty } \right)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = \mathbb{R}

Gọi {x_1};{x_2} là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc \mathbb{R} ta có:

\begin{matrix} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {2{x_1} + 3} \right) - \left( {2{x_2} + 3} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = 2 > 0 \hfill \\ \end{matrix}

Vậy hàm số y = 2x + 3 đồng biến trên \mathbb{R}.

b) Gọi {x_1};{x_2} là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc \left( { - 1; + \infty } \right) ta có:

\begin{matrix} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{{{x_1} + 1}} - \dfrac{4}{{{x_2} + 1}}}}{{{x_1} - {x_2}}} \hfill \\ = \dfrac{{\dfrac{{4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \hfill \\ \end{matrix}

Do {x_1} > - 1,{x_2} > - 1 nên \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0 từ đó ta có: \frac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} < 0

Vậy hàm số y = \frac{4}{{x + 1}} nghịch biến trên \left( { - 1; + \infty } \right).

Câu trắc nghiệm mã số: 7761,7763,7757,7733,7734

 

  • 41 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST